《工程塑性理论》课程授课教案（讲义，共九讲）

第一讲工程塑性理论 教学内容： 本章讨论了金属塑性成形过程的受力分析，变形体内一点的应力状态一一任 意斜面上的应力，主应力与应力张量不变量，主切应力与最大切应力： 教学重点： 金属塑性成形过程的受力分析，任意斜面上的应力，主应力与应力张量不变 量，主切应力与最大切应力。 教学难点： 任意斜面上的应力，主应力与应力张量不变量，主切应力与最大切应力 教学方法： 课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求： 重点掌握金属塑性成形过程的受力分析，任意斜面上的应力，主应力与应力 张量不变量，主切应力与最大切应力。 教学时间： 金属塑性成形过程的受力分析40min;变形体内一点的应力状态60min: 1.1金属塑性成形过程的受力分析 1.1.1外力 塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有 定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以分 成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布 载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力， 如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面 力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。例如锤上模 锻，工件所受的惯性力向上，有利于材料填充上模，故常把形状复杂的型腔设置 在上模

第一讲 工程塑性理论 教学内容： 本章讨论了金属塑性成形过程的受力分析，变形体内一点的应力状态——任 意斜面上的应力，主应力与应力张量不变量，主切应力与最大切应力。 教学重点： 金属塑性成形过程的受力分析，任意斜面上的应力，主应力与应力张量不变 量，主切应力与最大切应力。 教学难点： 任意斜面上的应力，主应力与应力张量不变量，主切应力与最大切应力 教学方法： 课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求： 重点掌握金属塑性成形过程的受力分析，任意斜面上的应力，主应力与应力 张量不变量，主切应力与最大切应力。 教学时间： 金属塑性成形过程的受力分析 40min；变形体内一点的应力状态 60min； 1.1 金属塑性成形过程的受力分析 1.1.1 外力 塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一 定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以分 成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布 载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力， 如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面 力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。例如锤上模 锻，工件所受的惯性力向上，有利于材料填充上模，故常把形状复杂的型腔设置 在上模

对外力的研究，一般采用理论力学的静力平衡法来分析，即使是体积力如惯 性力，也可转化为一种等效“静力”，仍可采用静力平衡法来分析。 1.1.2内力 内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整 性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。内 在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。当 外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡， 以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内 部各部分之间相互平衡的力。 研究内力时，首先须用假想截面剖切物体，暴露出内力，视其为外力，然后 再运用理论力学的静力平衡方法来求解。 1.1.3应力 应力是单位面积上的内力（见图2-1），其定义式为： Sn=dP/dA (2.1) d 图2-1应力示意图 图2-2平行于坐标面上应力示意图 其中dA为假想截面某处的微面积，dP为微面积上“作用云的内力。Sn为 力矢量。可以将Sn分解成平行于dA外法线n向的正应力°m和“作用”在dA 内的切应力？：或者二个正交的切应力。特别是，当dA分别为平行于直角坐标 系下三个坐标面时，其应力分解如图2-2所示。每个应力分量的符号带有两个下 角标。第一个角标表示该应力分量所在的面（以外法线命名），第二个角标表示 该应力所指的方向。正应力分量的两个角标相同，一般可用一个下角标表示，如 0可简写成

对外力的研究，一般采用理论力学的静力平衡法来分析，即使是体积力如惯 性力，也可转化为一种等效“静力”，仍可采用静力平衡法来分析。 1.1.2 内力 内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整 性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。内 在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。当 外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡， 以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内 部各部分之间相互平衡的力。 研究内力时，首先须用假想截面剖切物体，暴露出内力，视其为外力，然后 再运用理论力学的静力平衡方法来求解。 1.1.3 应力 应力是单位面积上的内力（见图 2-1），其定义式为： Sn=dP/dA （2.1） 图 2-1 应力示意图 图 2-2 平行于坐标面上应力示意图 其中 dA 为假想截面某处的微面积，d P 为微面积上“作用”的内力。Sn 为 力矢量。可以将 Sn 分解成平行于 dA 外法线 n 向的正应力  n 和“作用”在 dA 内的切应力 n  或者二个正交的切应力。特别是，当 dA 分别为平行于直角坐标 系下三个坐标面时，其应力分解如图 2-2 所示。每个应力分量的符号带有两个下 角标。第一个角标表示该应力分量所在的面（以外法线命名），第二个角标表示 该应力所指的方向。正应力分量的两个角标相同，一般可用一个下角标表示，如  xx 可简写成  x

切应力分量的正负号规定如下：外法线指向 坐标轴正向的面为正面，反之为负面。在正面 上，指向坐标轴正方向上的切应力分量为正： 在负面上，指向坐标轴负方向上的切应力分量 0v≤ Sn 也为正。即两个角标同号为正，异号为负。正 应力分量则以拉为正，压为负。 由于单元体处于平衡状态，故绕单元体各坐 图2-3四面体受力示意图 标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即'，=tm,t=te,t==t。 1.2变形体内一点的应力状态 1.2.1任意斜面上的应力 应力是某点某方位单位作用面上所受的力，而过一点可以有无穷多个方位的 面。这些方位作用面上的应力如何，这正是一点的应力状态所反映的问题。 现考察变形体内任一点M某一斜面上的应力情况。设过M点三个坐标面上的 应力为己知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx、dy、d2,以四面体近似表示点， 从而斜面近似通过M点（见图2-3）。斜面外法线的方向余弦分别为： cos(n,x)令l, cos(n,y) (2.2) cos(n,)令l. 设斜面上的全应力为Sn,它在三个坐标轴上的投影为Sx,Sy,Sz。Sn在 n上的分量为‘m,在作用面上的分量为'm。列四面体的力平衡方程，即 x=0,y=0,=0有： S,=l,+7l,+r_1. S,=Tl,+ol,+t (2.3) S:=Tgl,++o.l: 或用矩阵形式表达成 =ts oy t3y ly S.)r T 1.) (2.4)

切应力分量的正负号规定如下：外法线指向 坐标轴正向的面为正面，反之为负面。在正面 上，指向坐标轴正方向上的切应力分量为正； 在负面上，指向坐标轴负方向上的切应力分量 也为正。即两个角标同号为正，异号为负。正 应力分量则以拉为正，压为负。 由于单元体处于平衡状态，故绕单元体各坐 标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即 xy yx  = ， zx xz  = ， yz zy  = 。 1.2 变形体内一点的应力状态 1.2.1 任意斜面上的应力 应力是某点某方位单位作用面上所受的力，而过一点可以有无穷多个方位的 面。这些方位作用面上的应力如何，这正是一点的应力状态所反映的问题。 现考察变形体内任一点 M 某一斜面上的应力情况。设过 M 点三个坐标面上的 应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为 dx、dy、dz，以四面体近似表示点， 从而斜面近似通过 M 点（见图 2-3）。斜面外法线 n 的方向余弦分别为：        z y x n z l n y l n x l 令 令 令 cos( , ) cos( , ) cos( , ) （2.2） 设斜面上的全应力为 Sn，它在三个坐标轴上的投影为 Sx， Sy， Sz。Sn 在 n 上的分量为  n ，在作用面上的分量为 n  。列四面体的力平衡方程，即 x = 0,y = 0,z = 0 有：      = + + = + + = + + z xz x yz y z z y xy x y y zy z x x x yx y zx z S l l l S l l l S l l l          （2.3） 或用矩阵形式表达成                     =           z y x xz yz z xy y zy x yx zx z y x l l l S S S          （2.4） 图 2-3 四面体受力示意图

常用求和约定简记成 S,=o, 6j=x,八，) (2.5) 式中，若1=j,0表示正应力：i≠j时，0为剪切应力。于是 S=S:+:+:=S,S,(i=x.y,) (2.6 n=S,l,+S,ly +S.l:=oll, ,j=xy,) (2.7) T=S2-02 (2.8) 从上面可以看出，过M点任意斜面上的应力情况取决于·以及方向斜弦↓，。 只要知道三个坐标面上的应力·，则该点任意斜面上的应力均可求出。因此一 点的应力状态可用y来描述，即： 一一表示x方向 Gu=To Gy ty 一一表示y方向 T=Tx G: 一一表示：方问 。,中素新表秦应素作用方向（或作用面。列表示应力作用面《或应力作用 方向。称作素力著鞋。数学上可以证明为一个二阶对格张量。 假设四面体的斜面正好是物体的外表面，则（式2.5）入、（式2.6、（式2.7） (式2.8)给出了应力边界条件，即表面上应力与物体内部应力的关系式。 1.2.2主应力与应力张量不变量 主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法 线方向为主轴或主方向。 设主应力为，当n为主方向时，有S=风，5，=，S=,代入（式 2.3),整理，有： (ox-a2+t,+th.=0 t+(o,-o川，+t.=0 (2.9) t=1x+t=l,+(o:-o)1=0 求解山，山的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得 G3-1,o2-120-13=0 (2.10)

常用求和约定简记成 S l (i, j x, y,z) j = ij i = （2.5） 式中，若 i=j，  ij 表示正应力； i  j 时，  ij 为剪切应力。于是： ( , , ) 2 2 2 S S S S S S i x y z n = x + y + x = i i = （2.6） S l S l S l l l (i, j x, y,z)  n = x x + y y + z z = i j i j = （2.7） 2 2 n Sn  n  = − （2.8） 从上面可以看出，过 M 点任意斜面上的应力情况取决于  ij 以及方向斜弦 i l 。 只要知道三个坐标面上的应力  ij，则该点任意斜面上的应力均可求出。因此一 点的应力状态可用  ij 来描述，即：           = xz yz z xy y zy x yx zx ij            ij 中，行表示应力作用方向（或作用面），列表示应力作用面（或应力作用 方向）。  ij 称作应力张量。数学上可以证明  ij 为一个二阶对称张量。 假设四面体的斜面正好是物体的外表面，则（式 2.5）、（式 2.6）、（式 2.7）、 （式 2.8）给出了应力边界条件，即表面上应力与物体内部应力的关系式。 1.2.2 主应力与应力张量不变量 主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法 线方向为主轴或主方向。 设主应力为  ，当 n 为主方向时，有 x x S =l ， y y S = l ， z z S =l ，代入（式 2.3），整理，有：      + + − = + − + = − + + = ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 xz x yz y z z xy x y y zy z x x yx y zx z l l l l l l l l l             （2.9） 求解 x y z l ,l ,l 的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得 2 3 0 2 1 3  − I  − I  − I = （2.10） ——表示 x 方向 ——表示 y 方向 ——表示 z 方向 表 表 表 示 示 示 x y z 平 平 平 面 面 面

其中1,1，称作应力张量的第一、二、三不变量。 11=0x+0,+0: ax Ix t✉ (2.11) 可以证明，式(2.10)有三个不同的实根设为，02,0且它们是相互正交的， 习惯上有0，之0，之0的约定。 以上分析表明，口一定，主应力与I1,2,13的大小就完全确定。因此， 一点的应力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时，·的 表现形式最为简洁。同样I1,I2,I3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化， 一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。 求得主应力0,00之后，代回式(2.9)中的任意二式，再结合4=1， 便可求出01,02,0相对于x,少，轴的方向余弦。 1.2.3主切应力与最大切应力 改变方向，总有若干方向使？为主切应力，其作用面为主切平面。 若以主应力表示，则式(1.8)为： t=vi++a-(al+a+a) (2.12) 求解 正0，结合4=1，可得以下六组解。 表2.1Tm的极值解

其中 1 2 3 I ,I ,I 称作应力张量的第一、二、三不变量。 （2.11） 可以证明，式（2.10）有三个不同的实根设为 1 2 3  , , 且它们是相互正交的， 习惯上有  1  2  3 的约定。 以上分析表明，  ij 一定，主应力与 I1，I2，I3 的大小就完全确定。因此， 一点的应力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时，  ij 的 表现形式最为简洁。同样 I1，I2，I3 的形式也可简化。不论坐标系怎样变化， 一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。 求得主应力 1 2 3  , , 之后，代回式（2.9）中的任意二式，再结合 l i l i =1， 便可求出 1 2 3  , , 相对于 x, y,z 轴的方向余弦。 1.2.3 主切应力与最大切应力 改变方向，总有若干方向使 n  为主切应力，其作用面为主切平面。 若以主应力表示，则式（1. 8）为： 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 l l l ( l l l )  n =  + + −  + + （2.12） 求解 0, 0, 0 2 2 2 2 3 2 1 2 =   =   =   z n n n l l l    ，结合 l i l i =1 ，可得以下六组解。 表 2.1 n  的极值解              = − = + + = + + xz yz z xy y zy x yx zx zx x z xz yz z y zy xy y x yx x y z I I I                         3 2 1

组织 一东向余弦 项目 1 0 0 0 报 0 1 0 ±阳 0 ±1 ±报 0 5(o2+0) (1+0) a,+:) T. 0 0 0 +(G:-G (a-a,) 前三组为主平面，其上的'：为零，绝对值为极小。后三组为主切平面，其上 的7绝对值为极大，其方向总是与主平面成45°。当有000时，有最大 剪切应力 lml-jl,-al (2.13)

组织 方向余弦 项目 一 二 三 四 五 六 1 l ±1 0 0 0 2 1  2 1  2 l 0 ±1 0 2 1  0 2 1  3 l 0 0 ±1 2 1  2 1  0  n  1  2  3 ( ) 2 1  2 +  3 ( ) 2 1  1 +  3 ( ) 2 1  1 +  2 n  0 0 0 ( ) 2 1   2 − 3 ( ) 2 1   1 − 3 ( ) 2 1   1 − 2 前三组为主平面，其上的 n  为零，绝对值为极小。后三组为主切平面，其上 的 n  绝对值为极大，其方向总是与主平面成 45°。当有  1  2  3 时，有最大 剪切应力 max 1 3 2 1  =  − （2.13）

第二讲工程塑性理论 教学内容： 本章讨论了应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力，应力分析和 应变分析是塑性变形的力学基础， 教学重点： 应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力 教学难点： 应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力 教学方法： 课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求： 应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力 教学时间： 应力球张量与应力偏张量50min:八面体应力与等效应力50min: 1.2.4应力球张量与应力偏张量 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把‘分解成与体积变 化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设·为 平均应力，则有： 0.=o+0,+a)= (2.14) 按照应力叠加原理，“：具有可分解性。因此有： Gy=(Gy-G8)+Gm6 =oy+o0(6,j=x,y,) (2.15) 式中，当=j时，0，=1，当≠j时，0，=0。 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球 张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同

第二讲 工程塑性理论 教学内容： 本章讨论了应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力，应力分析和 应变分析是塑性变形的力学基础。 教学重点： 应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力 教学难点： 应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力 教学方法： 课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求： 应力球张量与应力偏张量，八面体应力与等效应力 教学时间： 应力球张量与应力偏张量 50min；八面体应力与等效应力 50min； 1.2.4 应力球张量与应力偏张量 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把  ij 分解成与体积变 化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设  m 为 平均应力，则有： 1 3 1 ( ) 3 1 I  m =  x +  y +  z = （2.14） 按照应力叠加原理，  ij 具有可分解性。因此有：  ij =  ij − m ij + m ij ( ) ' (i, j x, y,z) = ij + m ij = （2.15） 式中，当 i = j 时，  ij = 1 ；当 i  j 时，  ij = 0 。 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球 张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同

值得一提的是，·可，只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料 塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 ,2,3 1=c+o',+o=0 2=a,-o,+o,-a尸+(a-o,)+6号+r片+r (2.16) r3=G'u ,=0表明应力偏张量己不含平均应力成份。？与屈服准则有关（见第二 章)，反映了物体形状变化的程度。·反映了变形的类型：·>0表示广义拉伸 变形：I3=0表示广义剪切变形，1<0表示广义压缩变形。 1.2.5八面体应力与等效应力 在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个 掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应 力。因为有： 1=,=h5==5 由式(2.7)，式(2.12)，有： a=5@,-0+o,-0,+o,-0 借助于I1,I2,又有： a=o,+0,+a)=0。= (2.17) =号厅+ =}a,-,P+(a,-o,P+(a.-a,P+6g+r2+臣）(2.18) 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力·。（应变能相同的条件 下)，也称相当应力

值得一提的是，  m ij 只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料 塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然 是一个二 阶对称张量 ，同样有三 个不变量 ，分别为 1 2 3 I' , I' , I' 。          = = − + − + − + + + = + + = i j x y y z z x xy yz z x x y z I I I ' ' ( ) ( ) ( ) 6( ) 6 1 ' ' ' ' ' 0 3 2 2 2 2 2 2 2 1              （2.16） I' 1 = 0 表明应力偏张量已不含平均应力成份。 2 I' 与屈服准则有关（见第二 章），反映了物体形状变化的程度。 3 I' 反映了变形的类型： I' 3  0 表示广义拉伸 变形； 3 I' =0 表示广义剪切变形， 3 I' <0 表示广义压缩变形。 1.2.5 八面体应力与等效应力 在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个 掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应 力。因为有： 3 1 l 1 = l 2 = l 3 = l =  由式（2.7），式（2.12），有： 2 3 1 2 2 3 2 8 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 1  =  − +  − +  − 借助于 I1， I2，又有： 8 1 3 1 ( ) 3 1 I  =  x +  y +  z = m = （2.17） 2 2 8 1 3 3 2  = I + I ( ) ( ) ( ) 6( ) 3 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz z x =  − +  − +  − +  + + （2.18） 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力  e （应变能相同的条件 下），也称相当应力

=方@，-，八+o,-a+a-a+《号+g+百2.19 至此，由0.=。(ogl,=f(o,) 引出了三种特殊应力面，如图2-4所示。它 们是： 【：三组主平面，应力空间中构成平行 六面体。 01比 Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十 图24应力球与特殊面 二面体。 Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体

8 2 3  =  e ( ) ( ) ( ) 6( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz z x =  − +  − +  − +  + + （2.19） 至此，由 ( , ), ( , ) n ij i n ij i  f  l  f  l =  =  引出了三种特殊应力面，如图 2-4 所示。它 们是： Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行 六面体。 Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十 二面体。 Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。 图 2-4 应力球与特殊面

第三讲工程塑性理论 教学内容： 本章讨论了应力平衡微分方程一直角坐标下的平衡微分方程，柱坐标系、 球坐标系下的平衡微分方程 教学重点： 直角坐标下的平衡微分方程，柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 教学难点： 直角坐标下的平衡微分方程，柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 教学方法： 课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求： 重点掌握直角坐标下的平衡微分方程 教学时间： 直角坐标下的平衡微分方程50mi:柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 50min: 4.1应力平衡微分方程 应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间：关系，可以通过微体沿坐 标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。 4.1.1直角坐标下的平衡微分方程 假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为，：，少)， ,x+,y+,:+山)（见图2-8）。假设0的连续可导则有 假设‘g连续可导，则有 G,g+++)=a,+Ck,k=X列】 列六面体力平衡，则有

第三讲 工程塑性理论 教学内容： 本章讨论了应力平衡微分方程——直角坐标下的平衡微分方程，柱坐标系、 球坐标系下的平衡微分方程 教学重点： 直角坐标下的平衡微分方程，柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 教学难点： 直角坐标下的平衡微分方程，柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 教学方法： 课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求： 重点掌握直角坐标下的平衡微分方程 教学时间： 直角坐标下的平衡微分方程 50min；柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 50min； 4.1 应力平衡微分方程 应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间  ij 关系，可以通过微体沿坐 标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。 4.1.1 直角坐标下的平衡微分方程 假设物体为连续 介质。无限邻 近二点的应 力状态分别 为 (x, y,z)  ij ， (x dx,  ij + y + dy,z + dz) （见图 2-8）。假设  ij 的连续可导则有 假设  ij 连续可导，则有 ( d , d , d ) ( , , ) d (i, j, k = x, y, z)   + + + = + k k i j i j i j x x x x y y z z x y z    列六面体力平衡，则有