山东理工大学：《机械优化设计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 优化设计的数学基础

第二章 优化设计的数学基础 机械设计问题一般是非线性规划问题。 实质上是多元非线性函数的极小化问题，因 此，机械优化设计是建立在多元函数的极值 理论基础上的。 机械优化设计问题分为： 无约束优化 约束优化 无条件极值问题 条件极值问题

第二章 优化设计的数学基础 机械设计问题一般是非线性规划问题。 实质上是多元非线性函数的极小化问题，因 此，机械优化设计是建立在多元函数的极值 理论基础上的。 机械优化设计问题分为： 无约束优化 约束优化 无条件极值问题 条件极值问题

第一节 多元函数的方向导数与梯度 一、方向导数 从多元函数的微分学得知，对于一个连续可 微函数f(x)在某一点 x ( ) k 的一阶偏导数为： ( ) 1 ( ) k f x x   ( ) 2 ( ) k f x x   ( ) ( ) k n f x x   ， ，. ， 它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向的变 化率。 ( ) k x 有一个二维函数，如图2-1所示

第一节 多元函数的方向导数与梯度 一、方向导数 从多元函数的微分学得知，对于一个连续可 微函数f(x)在某一点 x ( ) k 的一阶偏导数为： ( ) 1 ( ) k f x x   ( ) 2 ( ) k f x x   ( ) ( ) k n f x x   ， ，. ， 它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向的变 化率。 ( ) k x 有一个二维函数，如图2-1所示

图2-1 函数的方向导数

图2-1 函数的方向导数

其函数在 ( ) 点沿d方向的方向导数为 0 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 0 0 1 1 2 2 1 2 2 1 1 f x x x x f x x x , , x x  +  +  − +   1  2 0 0 lim x x  →  → = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 2 f x x x f x x , , x x  +  −  +   ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 cos cos f x f x x x     =  +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 0 0 0 1 1 2 2 1 2 0 , , lim f x f x x x x f x x d →   +  +  − = 

其函数在 ( ) 点沿d方向的方向导数为 0 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 0 0 1 1 2 2 1 2 2 1 1 f x x x x f x x x , , x x  +  +  − +   1  2 0 0 lim x x  →  → = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 2 f x x x f x x , , x x  +  −  +   ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 cos cos f x f x x x     =  +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 0 0 0 1 1 2 2 1 2 0 , , lim f x f x x x x f x x d →   +  +  − = 

二、二元函数的梯度 对于二维函数 f x x ( 1 2 , ) 在 (0) x 点处的梯度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , T x f x f x f x x x      =         设 1 2 cos cos d     =     为d方向的单位向量，则有 ( ) 0 0 T x f f x d d  =  

二、二元函数的梯度 对于二维函数 f x x ( 1 2 , ) 在 (0) x 点处的梯度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , T x f x f x f x x x      =         设 1 2 cos cos d     =     为d方向的单位向量，则有 ( ) 0 0 T x f f x d d  =  

即 ( ) 0 0 T x f f x d d  =   ( ) ( ) 0 cos , T =   f x f d

即 ( ) 0 0 T x f f x d d  =   ( ) ( ) 0 cos , T =   f x f d

三、多元函数的梯度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , ,. T n f x f x f x f x x x x       =          沿d方向的方向向量 即 ( ) 0 0 T x f f x d d  =   ( ) ( ) 0 cos , T =   f x f d 1 2 cos cos . cos n d        =          

三、多元函数的梯度 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , ,. T n f x f x f x f x x x x       =          沿d方向的方向向量 即 ( ) 0 0 T x f f x d d  =   ( ) ( ) 0 cos , T =   f x f d 1 2 cos cos . cos n d        =          

图2-5 梯度方向与等值面的关系

图2-5 梯度方向与等值面的关系

若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即 ( ) *  = f x 0 满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值 点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极 小点，还得给出极值点的充分条件 设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数，则 * x 在这一点的泰勒二次近似展开式为： 第二节 多元函数的泰勒展开

若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即 ( ) *  = f x 0 满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值 点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极 小点，还得给出极值点的充分条件 设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数，则 * x 在这一点的泰勒二次近似展开式为： 第二节 多元函数的泰勒展开

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * 2 * * * * * 1 , 1 1 2 n n i i i j j i i j i i j f x f x f x f x x x x x x x = = x x x    + − + − −      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 . . . . . . . k k k n k k k k n k k k n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x G x x x x x x f x f x f x x x x x x                =                为N维函数f(x)在点 ( ) k x 处的Hesse矩阵

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * 2 * * * * * 1 , 1 1 2 n n i i i j j i i j i i j f x f x f x f x x x x x x x = = x x x    + − + − −      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 . . . . . . . k k k n k k k k n k k k n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x G x x x x x x f x f x f x x x x x x                =                为N维函数f(x)在点 ( ) k x 处的Hesse矩阵