山东理工大学：《机械优化设计》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 约束优化方法

第六章 约束优化方法 根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法 两类。 1, 2,., 1, 2,., u m v p n = =  ( ) 0 ( ) 0 u v g x h x  = min f x( ) n x R  st. . 机械优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题， 其数学模型为： 直接解法是在满足不等式约束的可行设计区域内直接求 出问题的约束最优解。 属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、 复合形法、可行方向法等

第六章 约束优化方法 根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法 两类。 1, 2,., 1, 2,., u m v p n = =  ( ) 0 ( ) 0 u v g x h x  = min f x( ) n x R  st. . 机械优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题， 其数学模型为： 直接解法是在满足不等式约束的可行设计区域内直接求 出问题的约束最优解。 属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、 复合形法、可行方向法等

间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来 解的一种方法。 由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法， 并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而 在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。 直接解法的基本思想： 在由m个不等式约束条件gu (x)≤0所确定的可行域φ内，选 择一个初始点x (0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当 的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可 行的新点x (1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上 述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：

间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来 解的一种方法。 由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法， 并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而 在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。 直接解法的基本思想： 在由m个不等式约束条件gu (x)≤0所确定的可行域φ内，选 择一个初始点x (0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当 的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可 行的新点x (1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上 述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：

x (k+1)＝ x (k)+α (k) S (k) (k=0,1,2,.) 逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代

x (k+1)＝ x (k)+α (k) S (k) (k=0,1,2,.) 逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代

直接解法的原理简单，方法实用，其特点是： 1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集

直接解法的原理简单，方法实用，其特点是： 1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集

a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集

a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集

间接解法的求解思路： 将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。 ( 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , m l j k j k      x f x G g x H h x = = = + +           新目标函数 加权因子 然后对新目标函数进行无约束极小化计算

间接解法的求解思路： 将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。 ( 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , m l j k j k      x f x G g x H h x = = = + +           新目标函数 加权因子 然后对新目标函数进行无约束极小化计算

开始 输人n,x0,41,2 构造中(x,山1,2) 求min中(x,41,42) 改变41,42的值 否 满足收敛条件？ x0←x 是 结束

第二节随机方向法 随机方向法的基本思路： 在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产 生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降 最快的随机方向作为搜索方向d。 从初始点x0出发，沿d 方向以一定步长进行搜索，得到新点 X，新点x应满足约束条件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。 基本思路如图所示。 随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优 化问题的十分有效的算法

第二节随机方向法 随机方向法的基本思路： 在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产 生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降 最快的随机方向作为搜索方向d。 从初始点x0出发，沿d 方向以一定步长进行搜索，得到新点 X，新点x应满足约束条件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。 基本思路如图所示。 随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优 化问题的十分有效的算法

×2 X 0

一、随机数的产生 下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型 35 36 37 1 2 3 首先令 r r r = = = 2 , 2 , 2 取r=2657863，按一下步 骤计算： 令 r r 5 若 3 r r  则 3 r r r  − 若 则 2 r r r  − 2 r r  1 若 r r  1 则 r r r  − 则 1 q r r = / （0，1）之间的随机数

一、随机数的产生 下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型 35 36 37 1 2 3 首先令 r r r = = = 2 , 2 , 2 取r=2657863，按一下步 骤计算： 令 r r 5 若 3 r r  则 3 r r r  − 若 则 2 r r r  − 2 r r  1 若 r r  1 则 r r r  − 则 1 q r r = / （0，1）之间的随机数