电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第5章 平稳随机过程 第3节 平稳过程的各态历经性

§5.3平稳过程的各态历经性 问题背景 1)在何种条件下，可以依据平稳过程的 一条现实建立有效描述过程的数学模型？ 2)实际问题中常需确定随机过程的数学 期望和方差、相关函数； 如飞机在高空飞行，受湍流影响产生机翼 震动，需考虑机翼振幅大小的均值与方差. 电子科技大学

电子科技大学 §5.3 平稳过程的各态历经性 一、问题背景 1）在何种条件下, 可以依据平稳过程的 一条现实建立有效描述过程的数学模型？ 2）实际问题中常需确定随机过程的数学 期望和方差、相关函数； 如飞机在高空飞行，受湍流影响产生机翼 震动，需考虑机翼振幅大小的均值与方差

电路中电子不规则运动引起的热噪声（电 位的脉动)考虑脉动范围，噪声功率等归结为 求过程的方差，相关系数 2)对实际动态数据进行零均值化，如何从 数据得到均值函数？ 3)困难在于需知道过程的一、二维分布. 4)设想用试验法解决. 电子科技大学

电子科技大学 电路中电子不规则运动引起的热噪声(电 位的脉动).考虑脉动范围,噪声功率等归结为 求过程的方差, 相关系数. 2）对实际动态数据进行零均值化, 如何从 数据得到均值函数？ 3）困难在于需知道过程的一、二维分布. 4）设想用试验法解决

设想 研究平稳过程{X(t),t∈T, X(t1,O） X(tn+t,@) Xt,0) X(t,02) Xt,03) tn+t 进行足够多次的试验，得到样本函数族 电子科技大学

电子科技大学 设想 研究平稳过程{X(t), t∈T}， X(t1 ,ω) X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) t1 tn+τ X(tn+τ,ω) 进行足够多次的试验，得到样本函数族

{(x(t,o1)x(t,o2),…,x(t,⊙n),t∈T} 根据大数定律，对固定t∈T,可令 mx()≈2 nk=1 统计平均 x(（e)≈∑)x低+， n k=1 缺，点1)需要很大n,实际工程中难以实现. 2)过程具有不可重复性. 电子科技大学

电子科技大学 {( ( , ), ( , ), , ( , )), } x t 1 x t 2  x t n t T 根据大数定律，对固定t1∈T，可令 ( ), 1 ˆ ( ) 1 1  1   n k X k x t n m t 1 1 1 1 ˆ ( ) ( ) ( ), n X k k k R x t x t n       缺点 1) 需要很大 n ,实际工程中难以实现. 统计平均 2) 过程具有不可重复性

Ex.1下面的数据是某城市1991~1996 年中每个季度的民用煤消耗量（单位：吨) 年 1季度2季度 3季度 4季度 年平均 1991 6878.4 5343.7 4847.9 6421.9 5873.0 1992 6815.4 5532.6 4745.6 6406.2 5875.0 1993 6634.4 5658.5 4674.8 6445.5 5853.3 1994 7130.2 5532.6 4989.6 6642.3 6073.7 1995 7413.5 5863.1 4997.4 6776.1 6262.6 1996 7476.5 5965.5 5202.1 6894.1 6384.5 季平均 7058.1 5649.3 4909.6 6597.7 电子科技大学

电子科技大学 Ex.1 下面的数据是某城市1991~1996 年中每个季度的民用煤消耗量（单位：吨）

民用煤消耗量数据散布图 7500 70 年平均 曲线 650 数据 30 曲线 020 4520 29 29 电子科技大学

电子科技大学 民用煤消耗量数据散布图 年平均 曲线 数据 曲线

问题 能否用一条样本函数去估计随机过 程的数字特征？ 即能否用时间轴上的均值 时间平均 7J了0a7o0+rla 近似估计nx()、R()? 过程满足一定条件时可行。 电子科技大学

电子科技大学 能否用一条样本函数去估计随机过 程的数字特征？ 问题 即能否用时间轴上的均值 T T x t dt T ( ) 2 1 近似估计mX(t) 、R()? 时间平均 ？ 过程满足一定条件时可行. 1 ( ) ( ) 2 T T x t x t dt T    

二、平稳过程的各态历经性 定义5.3.1设{X(t),t∈(-o,+oo)}是平稳过 程，若均方极限 二次均 (X()》=im 方极限 T-co 存在，称为X()在（一00，+o)上的时间平均. 对于固定的π，均方极限 二次均 方极限 {X)Xt+可会m27」，Xx+h 存在，称为X(t)在（一o0,+o)上的时间相关函数. 电子科技大曾

电子科技大学 二、平稳过程的各态历经性 定义5.3.1 设{X(t), t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过 程，若均方极限  T T T X t dt T ( ) 2 1 X(t)  ˆ l.i.m 存在,称为X(t)在(－∞,+ ∞)上的时间平均. 二次均 方极限 对于固定的τ，均方极限 X(t)X(t  )  ˆ 1 l.i.m ( ) ( ) 2 T T T X t X t dt T      二次均 方极限 存在, 称为X( t )在(－∞,+ ∞)上的时间相关函数

注1应保证{X(),t∈R}在任意有限区间上 均方可积.（均方连续是充分条件）. 注2时间平均(X()》是随机变量， 时间相关函数X(④X+列 是随机过程. 参数为π 平稳随机过程的均值函数是常数，相关 函数R()是普通函数， 电子科技大学

电子科技大学 注1 应保证{X(t),t∈R}在任意有限区间上 均方可积.(均方连续是充分条件). 时间相关函数 X(t)X(t  ) 是随机过程. 注2 时间平均 X(t) 是随机变量, 参数为τ 平稳随机过程的均值函数是常数，相关 函数R(τ)是普通函数

Ex.1设X(t)=Yt∈(-oo,+o),且D(Y)≠0， D(Y)<+oo.计算X()的时间平均和时间相关 函数 解X()是平稳过程. o=m37上，x0a=7h= T-→0 X()X(X YTa-lyF T→0 电子科技大学

电子科技大学 Ex.1 设X(t)=Y, t∈(－∞, + ∞), 且 D(Y )≠0, D(Y )<+∞. 计算X(t) 的时间平均和时间相关 函数    T T T X t dt T X t ( ) 2 1 ( ) l.i.m     T T T Ydt Y 2T 1 l.i.m X(t)X(t  ) 1 l.i.m ( ) ( ) 2 T T T X t X t dt T       1 2 l.i.m 2 T T T YYdt Y  T     解 X(t) 是平稳过程