电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识 第1节 概率空间

随机地程及应用 精品课程 第1章第1节概率空间

第1章第1节 概率空间

概率空间 §1.1概率空间 随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概 率等定义，有如下问题： 1)联系于随机试验E的样本空间2的结构？ 2)对于随机试验E的样本空间2，是否2的 每一个子集（事件）都能确定概率？ 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 §1.1 概率空间 一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概 率等定义，有如下问题： 1) 联系于随机试验E的样本空间Ω的结构？ 2) 对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的 每一个子集(事件)都能确定概率?

概率空间 定义1.1.1（σ代数）：设随机试验E的样本空 间为2，F是2的子集组成的集族，满足 (1)2∈F; (2)若A∈F,则A∈F.(对逆运算封闭) (3)若A:∈F,(i=1,2,…),则U21A:∈F (对可列并运算封闭) o可加 称F为2的一个σ代数（事件体)，F中的集 合称为事件 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 定义1.1.1(σ 代数)：设随机试验E 的样本空 间为Ω, F 是Ω 的子集组成的集族，满足 σ可加 称F 为Ω 的一个σ-代数（事件体）, F 中的集 合称为事件. (1) Ω∈F ;

概率空间 Ex在编号为1,2，，n的n个元件中取一件. 1.考虑元件的编号，则全体基本事件为 Ak=k (k=1,2,…,n) 样本空间为 2={1,2,…,n 构造如下事件： Ak,s=Ak UAs (k,s=1,2,...,n, Ai,k,s =AiAk As (i,k,s=1,2,...,n 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 Ex 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件. 样本空间为   {1,2,  ,n} 构造如下事件: A {k} (k 1,2, ,n) k     , 1,2, , , Ak,s  Ak  As k s   n A A A A i k s n i k s i k s , , 1,2, , , ,      ……… 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为

概率空间 Ai=AiAi0Ai (i1,2,…,in-1=1,2,…,n) 可验证集族{，2，Ak,Ak5,…,A1,,n1} 组成一个σ代数（此实际上就是2的幂集）， 2.考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A={取到正品}，A2={取到次品} 则F={中，A1,A2,2}为一个o代数. 通常称F={中，A,A,2}是由A产生的最简 单o代数， 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 ( , , , 1,2, , ) 1 2 1 , , , 1 2 n 1 1 2 1 i i i n A A A A n i i i i i in           { , , , , , } 1 2 1 , , , ,  n 可验证集族  Ak Ak s  Ai i  i 组成一个σ代数(此实际上就是Ω的幂集). 2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1={取到正品}, A2={取到次品}

概率空间 Ex掷一个质量均匀的骰子，观察向上的面 的点数。 样本空间为2={1,2,3,4,5,6} 构造如下事件体（σ-代数）： F={φ，2，{1,3,5}，{2,4,6} F2={0,2,{1,2},{3,4},{5,6},{1,2,3,4,}, {3,4,5,6},{1,2,5,6} F3=2的幂集 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 Ex 掷一个质量均匀的骰子，观察向上的面 的点数。 样本空间为 构造如下事件体(σ-代数): { , ,{1,3,5},{2,4,6}} F1    {3,4,5,6},{1,2,5,6}} { , ,{1,2},{3,4},{5,6},{1,2,3,4,}, F2      {1，2，3，4，5，6} F3  的幂集

概率空间 Ex测量一个零件，考虑其测量结果与实 际长度的误差. 基本事件为x},样本空间为 2={x:x∈R}=R1 则R的子集全体：中，2，单点集{x},一切 开的闭的，半开闭区间等以及它们经过可列 交、并、补组成的集族F是一个σ代数. 另外，令41={x:x之0}={出现正误差} A2={x:x<0}={出现负误差} 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 Ex 测量一个零件,考虑其测量结果与实 际长度的误差. 基本事件为{x},样本空间为 1 1 Ω  {x : x  R }  R 另外，令    : 0 : 0 2 1     A x x A x x ={出现正误差} ={出现负误差}

概率空间 则F={中，A1,A2,2}为一个o代数. 注：对同一研究对象的同一试验，试验目的 不同，其样本空间和σ代数的结构会不同. 定义1.1.2（可测空间）样本空间2和o代数 的二元体(2，可称为可测空间. 可测空间有如下性质： 1.φ∈F(:中=2) 2.对可列交运算封闭.若A:∈F（i=1,2,·), 电子科技大学

概率空间 电子科技大学 注：对同一研究对象的同一试验, 试验目的 不同, 其样本空间和σ代数的结构会不同. 定义1.1.2(可测空间) 样本空间Ω和σ代数 的二元体(Ω, F) 称为可测空间. 可测空间有如下性质：

概率空间 ∩A,∈F i=1 00 00 证 因 A=UA,Ai∈F→A∈F i=1 i=1 00 00 → UA∈F→∩A;∈F i=1 i=1 3.对有限并，有限交封闭：若A:∈F,i=1,2,…,n 则 ∪A∈F,或∩A,∈F i三1 i=】1 电子科技大学

概率空间 电子科技大学     1 F i Ai 证 , 1 1        i i i 因 Ai A Ai  F  Ai  F           1 1 F F i i i Ai A   n i i n i Ai A 1 1 F, F    或 

概率空间 4.对差运算封闭，即若A∈F,B∈F,则A一B∈F. .'A-B=A∩B∈F 二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义（概率）：设①，F)是一可测空间，对A∈F 定义在F上的实值集函数P(A),满足 1)非负性：对VA∈F,0≤P(A)≤1 2)规范性：P(①2)=1； 电子科技大学

概率空间 电子科技大学  A B  A B  F 二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 2) 规范性:P(Ω) = 1;