电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第5章 平稳随机过程 第1节 平稳随机过程的概念

第五章平稳随机过程 §5.1平稳随机过程的概念 §5.2平稳过程的自相关函数 §5.3平稳过程的各态历经性 §5.4平稳过程的谱分析简介 电子科技大学

电子科技大学 第五章 平稳随机过程 §5.1 平稳随机过程的概念 §5.2 平稳过程的自相关函数 §5.3 平稳过程的各态历经性 §5.4 平稳过程的谱分析简介

§5.1平稳随机过程的概念 上一章对于二阶矩过程，主要是针对过程 的均值函数和相关函数两个数字特征，进行 概率性质的讨论 平稳过程是一类其概率特征不随时间推 移的随机过程，在过程理论和应用中有特 殊地位和作用。 本章重点讨论特殊的二阶矩过程—（宽） 平稳过程。 电子科技大学

电子科技大学 §5.1 平稳随机过程的概念 上一章对于二阶矩过程,主要是针对过程 的均值函数和相关函数两个数字特征, 进行 概率性质的讨论. 平稳过程是一类其概率特征不随时间推 移的随机过程，在过程理论和应用中有特 殊地位和作用。 本章重点讨论特殊的二阶矩过程—(宽) 平稳过程

、严平稳过程 一类过程，具有平稳性，即它的统计特性 不随时间的推移而改变，它的当前变化情况 与过去的情况有不可忽视的联系. 定义5.4.1{X(t)t∈T是实随机过程，若对n >1,t1,2,…,tn∈T和实数t,当t+,t2+t,…, tn+t∈T时 X(t),…,Xtn) 与 (X(t1+T),…,X(tn+T) 电子科技大学

电子科技大学 一、严平稳过程 一类过程,具有平稳性, 即它的统计特性 不随时间的推移而改变, 它的当前变化情况 与过去的情况有不可忽视的联系. 定义5.4.1 {X(t) t∈T}是实随机过程, 若对n ＞1, t1 ,t2 , … ,tn ∈T 和实数τ,当t1+τ,t2+τ, … , tn +τ∈T 时 (X(t1) , … , X(tn )) 与 (X(t1+τ), … ,X(tn +τ))

有相同的联合分布函数，称{X(t),t∈T是严 (强、狭义)平稳过程. 有限维分布不随时间 的推移而改变 注1 严平稳过程描述的物理系统的概率 特征不随时间的推移而改变. 例如工作在稳定状态下的接受机，其输出 噪声可认为是严平稳的随机过程； 刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程 电子科技大学

电子科技大学 有相同的联合分布函数, 称{X(t ),t∈T}是严 (强、 狭义)平稳过程. 有限维分布不随时间 的推移而改变. 注1 严平稳过程描述的物理系统的概率 特征不随时间的推移而改变. 例如 工作在稳定状态下的接受机, 其输出 噪声可认为是严平稳的随机过程; 刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程

注2 严平稳过程的一维分布与时间无关， 而二维分布仅与t和t,的间隔有关，与时间起 点无关 二、宽平稳过程 1)工程中确定一个过程的有限维分布函 数族，进而判定过程的严平稳性十分困难； 2)部分随机过程（如正态过程）的概率特 征主要由一阶和二阶矩函数确定； 电子科技大学

电子科技大学 注2 严平稳过程的一维分布与时间无关, 而二维分布仅与t1和t2的间隔有关, 与时间起 点无关. 二、宽平稳过程 1）工程中确定一个过程的有限维分布函 数族,进而判定过程的严平稳性十分困难； 2）部分随机过程(如正态过程)的概率特 征主要由一阶和二阶矩函数确定；

3)工程实际中，通常仅需在相关理论范畴 内考虑平稳过程，即只限于研究一、二阶矩 (均值、相关函数等)理论. 例如平稳过程{X(),t∈T表示噪声电压 (或电流)，则由它的一、二阶矩函数可以 求出噪声的直流平均功率，总平均功率、 功率谱密度等重要参数， 从随机过程的一、二阶矩出发定义在理 论和应用中更重要的平稳过程概念. 电子科技大学

电子科技大学 3）工程实际中,通常仅需在相关理论范畴 内考虑平稳过程,即只限于研究一、二阶矩 （均值、相关函数等）理论. 例如平稳过程{X(t),t∈T} 表示噪声电压 (或电流)，则由它的一、二阶矩函数可以 求出噪声的直流平均功率，总平均功率、 功率谱密度等重要参数. 从随机过程的一、二阶矩出发定义在理 论和应用中更重要的平稳过程概念

定义5.4.2设X={X(),t∈T}是二阶矩过程，若 l)对任意t∈T,mx(t)=E(X(t)=mx; 常数 2)对任意s,t∈T,Rx(S,t)=Rx(t一S)=Rx() 称{X(),∈T为宽（弱、广义）平稳过程，简称 平稳过程 称R(T)为X(t),t∈T的自相关函数. 其协方差函数为 Cx(s,t)=Rx(s,t)-mx=Rx(t)-mx 电子科技大学

电子科技大学 定义5.4.2 设X=｛X(t),t∈T｝是二阶矩过程, 若 1）对任意t∈T, ( ) ( ( )) ; X mX m t  E X t  常 数 2) 对任意s, t∈T, RX (s, t)=RX (t－s)=RX (τ). 称{X(t),t∈T}为宽(弱、广义)平稳过程,简称 平稳过程. 称RX (τ)为{X(t),t∈T}的自相关函数. 其协方差函数为 2 2 ( , ) ( , ) ( ) X X mX RX mX C s t  R s t    

注自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t一S. 平稳过程在实际中是常见过程，如 照明电网中电压的波动过程； 电子系统中的随机噪声； 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地，点的变化（平稳随机场）； 卫星图片中相同条件下的灰度水平， 电子科技大学

电子科技大学 注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s. 平稳过程在实际中是常见过程,如 照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平

Ex.1(随机相位周期过程) S()是周期为T的连续函数，Φ~U(0,T), 讨论X(t)=S(t+Φ)的平稳性. 解1)过程是严平稳过程. 2)mx()=EX(t1=E[S(t+Φ小 =」St+p)fo(p)do -TS(+odo 电子科技大学

电子科技大学 Ex.1 (随机相位周期过程) S(t)是周期为T的连续函数,Φ～U(0, T), 讨论 X(t)  S(t  )的平稳性. 解 1）过程是严平稳过程. 2) m (t)  E[X(t)]  E[S(t  )] X     S(t  ) f ()d      T S t d T 0 ( ) 1

=子sud加=2gswu 与t无关 的常数 Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+)] =E[S(t+Φ)S(t+t+Φ)】 =」st+p)St+z+p(p)dg 7厂su+pSe+g+4p "sSu+ri 电子科技大学

电子科技大学    t T t S u du T ( ) 1  T S u du T 0 ( ) 1 与t 无关 的常数 R (t,t  )  E[X(t)X(t  )] X  E[S(t  )S(t   )]     S(t )S(t  )f ()d      T S t S t d T 0 ( ) ( ) 1         t T t S u S u du T ( ) ( ) 1 