电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（教学大纲，覃思义）

本课程60学时，分为七章介绍： 第一章预备知识(6学时) 本章为顺利介绍随机过程的内容，针对本科《概率论与数理统计》现有教学要求做部分的拓展和加深。 了解 1.黎曼一斯蒂阶积分的概念及性质： 2.随机变量数字特征的黎曼一斯蒂阶积分定义，条件数学期望概念及性质： 3.特征函数概念及性质。 掌握 1.应用条件数学期望确定随机变量分布、计算相关数字特征的方法： 2.特征函数的反演公式及唯一性定理，应用特征函数确定随机变量分布及计算相关数字特征的方法。 第二章随机过程基本概念(8学时) 本章通过对随机过程的概要介绍，使学生对随机过程的理论及应用有一个整体的了解和把握，以利下一步深入的学 习。 了解 1.概率空间概念及随机向量概念； 2.随机过程的工程及实际背景； 3.科尔莫哥罗夫随机过程存在定理及其在随机过程理论中的作用： 4.随机过程有限维特征函数族的概念及其性质。 掌握 1.随机过程的数学定义，概率空间概念、样本函数概念及随机过程的二元理解； 2.随机过程有限维分布函数族的概念及其性质，确定随机过程分布的各类方法： 3.随机过程的基本类型及相关结论，具体有二阶矩过程、严（宽）平稳过程、正交过程、马尔科夫过程、独立过程， 独立增量过程、独立平稳增量过程。 4.随机过程的数字特征：均值函数、方差函数、协方差函数、相关函数（或相关系数）、互相关函数的概念以及计算 数字特征的各类方法。 重点和难点 重点是定义在概率空间上的随机过程概念的理解。难点是如何从有限维随机向量推广到无限维随机变量族，并形成 随机过程的概念理解，随机过程的二元理解。 作业：完成教材本章所附习题 钟二音门米禹垂陆n计积(1∩当对)

作业：完成教材本章所附习题。 第四章均方微积分(12学时) 了解 1.分布函数列的弱收敛性及连续性定理(levy-Cramer): 2.随机变量序列的三种收敛性：依分布收敛、 依概率收敛、慨率为1收敛（几乎处处收 敛)，以及三种收敛性的关系： 3.二阶矩空间H上的内积、范数、距离概念，距离空间H的完备性； 4.正态过程的均方微积分，以及其导数过程和积分过程的正态不变性； 5.随机微分方程概念以及简单一阶线性微分方程的求解方法，随机微分方程的解过程的均值函数及相关函数计算 方法（自学）： 6.伊藤积分定义和性质，伊藤随机微分方程（自学）。 掌握 1.二阶矩空间的均方极限和均方收敛概念： 2.均方收敛意义下的完备性定理：柯西均方收敛准则，线性赋范空间H的完备性， 3.均方极限的运算性质，二阶矩过程均方极限的数字特征：均值函数、自相关函 数、方差函数的计算以及均方极限的特征函数计算方法； 4.二阶矩过程的洛易夫均方收敛准则，均方极限收敛性与其自相关函数收敛性的关系， 5.随机过程的均方连续概念及均方连续准则，与其均值函数、方差函数连续性的关系： 6.随机过程的均方导数定义，相关函数广义二阶可微概念及过程均方可微准则； 7.均方导数过程的均方连续性及求导运算法则，均方导数过程的数字特征：均值 函数、自相关函数、与原过程的互相关函数的计算； 9.随机过程的黎曼均方定积分定义及均方可积准则，均方定积分性质：唯一性、线性 性、对区间的可加性以及均方定积分的数字特征及性质； 10.均方不定积分定义及性质，均方连续与均方可积的关系，牛顿-莱布尼兹公式，均方 积分过程的数字特征。 重点和难点 本章介绍基于二阶矩过程的均方微积分，为平稳过程的研究和应用奠定理论基础。 重点有均方极限、均方连续、均方导数，均方积分概念的理解；洛易夫均方收敛判别定理在均方微积分中的作用和 地位；均方连续则、均方可微准则及推论、均方可积准则；自相关函数在均方微积分学中的作用与地位。难点有洛易 夫均方收敛判别定理的证明及应用；均方可微准则的理解和对实际过程可微性判定；导数过程和积分过程的自相关函

本章内容具有较强的应用性和工具性。从工程应用和科研角度来看应是该门课程的重点章节。平稳过程概念的理 解和工程应用、平稳过程的自相关函数性质和计算、平稳过程均方遍历概念及工程应用理解、平稳过程均值及相关函 数均方遍历性的判别、均方微积分理论用于平稳过程产生的特殊性、平稳随机过程的功率谱密度及谱分解是本章的重 点。难点是平稳过程的导数过程、积分过程的相关函数计算；平稳过程相关函数均方遍历性的判别。 作业：完成教材本章所附习题。 第六章马尔可夫过程（(12学时) 了解 1按参数集T和状态空间对马尔科夫过程的分类； 2.连续参数马尔可夫链及相关理论（自学）： 3.生灭过程概念，理论及其应用（自学）： 掌握 1.理解随机过程的马尔科夫性及工程意义，马尔科夫过程的有限维分布： 2.离散参数马氏链的定义，马氏链的转移概率、转移矩阵及切普曼-柯尔莫哥洛夫方程； 3.齐次马尔可夫链的概念及性质，其步转移矩阵与一步转移矩阵的幂关系； 4.齐次马尔可夫链的绝对概率分布，极限分布、平稳分布的概念及计算方法 5.齐次马氏链的遍历性概念及遍历性定理，齐次马氏链的平稳性及平稳分布， 6.齐次马氏链状态转移的特征量：首达概率，最终概率、首达时间、首返概率等 7.齐次马氏链状态的类型：常返与非常返、零常返与正常返、周期状态、遍历态以及各种 状态类型的工程意义及判别方法， 8.齐次马氏链状态空间的分解定理及分解方法，状态分类的应用。 重点难点 本章所设内容是随机过程理论最为丰富的部分，应用范围广泛。主要介绍基本的离散参数马氏链。重点是齐次马尔 可夫链的分布，状态间的转移概率，状态的分类，状态空间的分解及其工程意义。难点有马氏性的理解；平稳性及平稳 分布的理解；状态分类类型：常返与非常返、零常返与正常返、周期状态、遍历态的理解；各种状态类型的意义及判 别方法；状态空间的分解及其工程意义