电子科技大学：《偏微分方程 Partial Differential Equations》课程教学资源（课件讲稿）现代理论：第一章 二阶椭圆型方程

电子神枝女学 例 956 第一章二阶椭圆型方程 1

第一章 二阶椭圆型方程 1

第一章二阶椭圆型方程 ◆1.1定义 ◆1.2弱解的存在性 ◆1.3解的正则性

第一章 二阶椭圆型方程  1.1 定义  1.2弱解的存在性  1.3解的正则性

1.1定义 1.1.1一致椭圆型方程的定义 设UcR"是有界区域，a',b,c,f都是定义在U上的已知函数(i,j=1,…,n)。 本章主要研究边值问题 Lu=f, x∈U, u=0, (1.1) x∈aU, 其中，=(x):U→R是未知函数，C二阶偏微分算子，具有散度形式 2 Cu=-∑(a(o)uz,),+∑b(r)u,+c(r)u (1.2) i,i=1 i=1

1.1.1 一致椭圆型方程的定义 设 是有界区域， 都是定义在 上的已知函数 。 本章主要研究边值问题 其中， 是未知函数， 二阶偏微分算子，具有散度形式 1.1 定义 n U  , , , ij i a b c f U ( , 1, , ) i j n  u u x U   ( ) :

1.1定义 1.1.1一致椭圆型方程的定义 或者非散度形式 Lu=- ∑a(e)ur+b(zu:+c(ru (1.3) i,j=1 i=1 如果C由(1.2)给出，则称方程C=f是散度型方程；若C由（1.3)给出， 则称方程Cu=f是非散度型方程。问题(1.1)中在∂U上的u=0的条件有时也 称为Dirichlet:边界条件

1.1 定义 1.1.1 一致椭圆型方程的定义 或者非散度形式 如果 由（1.2）给出，则称方程 是散度型方程；若 由（1.3）给出， 则称方程 是非散度型方程。问题（1.1）中在 上的 的条件有时也 称为Dirichlet边界条件 u f  u f  U u  0

1.1定义 1.1.1一致椭圆型方程的定义 定义：若对几乎处处的x∈U和所有的5∈R”,存在常数O>0使得 -∑a(x)5≥0112， (1.4) i,j=1 则称偏微分算子C是（一致)椭圆的

1.1 定义 1.1.1 一致椭圆型方程的定义 定义：若对几乎处处的 和所有的 ，存在常数 使得 则称偏微分算子 是（一致）椭圆的。 x U n     0

1.1定义 1.1.2弱解 定义：(i)对于由(1.2)式定义的散度型椭圆算子C,其双线性形式BL,]定义为 =a,++r u,v∈H(U), (1.8) i=1 (ii)若存在u∈H(U),使得对任意的v∈H(U),都有 Blu,v]=(f,v), (1.9) 则称u是边值问题（1.1)的一个弱解，其中()表示L2(U)上的内积

1.1 定义 1.1.2 弱解 定义：（i)对于由（1.2）式定义的散度型椭圆算子 ，其双线性形式 定义为 （ii)若存在 ，使得对任意的 ，都有 则称 是边值问题（1.1）的一个弱解，其中 表示 上的内积。 B[, ] 1 0 u H U  ( ) 1 0 v H U  ( ) u (, ) 2 L U( )

1.1定义 1.1.1一致椭圆型方程的定义 更一般地，考虑边值问题 Lu=fo-f x∈U, i=1 (1.10 u=0,x∈∂U, 其中C定义如(1.2)式，f'∈L2(U)i=0,…,n)。 定义：称u∈H(U)是问题(1.10)的一个弱解，如果 Bu,=(f,v,∈H(U), 其中(f,以=v+∑fy,,)表示H'U)与HU的对偶积

1.1 定义 1.1.1 一致椭圆型方程的定义 更一般地，考虑边值问题 其中 定义如（1.2）式， 。 定义：称 是问题（1.10）的一个弱解，如果 其中 ， 表示 与 的对偶积。 2 ( )( 0, , ) i f L U i n   1 0 u H U  ( ) 0 1 , i n i x U i f v f v f v dx      , 1 H U( )  1 0 H U( )

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电子神做女学 例 956 12弱解的存在性 9

1.2 弱解的存在性 9

1.2弱解的存在性 1.2.1Lax-Milgram定理 定理1（Lax-Mi lgram定理)：设 B:H×H→R 是一个双线性泛函，它具有 (i)有界性，即存在常数α>0，使得 |B[u,wl≤a‖ullv, u,v∈H; (ii)强制性，即存在B>0,使得 B‖u2≤B[u,u, u,v∈H. 则对任意有界线性泛函f:H→R,存在唯一的u∈H,使得 Blu,v]=(f,v), Vv∈H. (1.11)

1.2弱解的存在性 1.2.1 Lax-Milgram定理 定理1（ Lax-Milgram定理）：设 是一个双线性泛函，它具有 （i）有界性，即存在常数 ，使得 （ii）强制性，即存在 ，使得 则对任意有界线性泛函 ，存在唯一的 ，使得   0   0 f H:  u H 