电子科技大学：《偏微分方程 Partial Differential Equations》课程教学资源（课件讲稿）古典理论：第四章 波动方程

电子神做女学 例 /966 第4章波动方程 1

第4章 波动方程 1

本章讨论波动方程 un-△u=f 的初值问题和初边值问题。其中∫=f(x,t)是已知初值函数。 在物理和力学的研究中，弦的微小横震动(n=1),薄膜的微小横震动(n=2) 和弹性体的微小横震动(=3)的简化数学模型就是波动方程。在这些物理原型中， (x,t)表示质点x在时刻t≥0时沿某固定方向的位移。 我们将发现，波动方程的解和Laplace方程、热传导方程的解不同。譬如，波 动方程的解通常不是无穷可微的。 2

2 本章讨论波动方程 的初值问题和初边值问题。其中 是已知初值函数。 在物理和力学的研究中，弦的微小横震动 ，薄膜的微小横震动 和弹性体的微小横震动 的简化数学模型就是波动方程。在这些物理原型中， 表示质点 在时刻 时沿某固定方向的位移。 我们将发现，波动方程的解和Laplace方程、热传导方程的解不同。譬如，波 动方程的解通常不是无穷可微的。 tt u u f    f f x t  ( , ) ( 1) n  ( 2) n  ( 3) n  u x t ( , ) x t  0

第4章波动方程 ◆4.1一维波动方程的初值问题 ◆4.2高维波动方程的初值问题 ◆4.3能量法 3

第4章 波动方程 3  4.1 一维波动方程的初值问题  4.2 高维波动方程的初值问题  4.3 能量法

电子神枝女学 例 4.1一维波动方程的初值问题 4

4.1 一维波动方程的初值问题 4

4.1一维波动方程的初值问题 在所有双曲型方程中，最简单的是一维波动方程 un-us =0,xE(b,c)R,1>0, 其中u=(x,t).在物理上，u表示振动弦上质点x在时刻t时的位移。所以，一维 波动方程又叫弦振动方程。 5

5 4.1 一维波动方程的初值问题 在所有双曲型方程中，最简单的是一维波动方程 其中 . 在物理上， 表示振动弦上质点 在时刻 时的位移。所以，一维 波动方程又叫弦振动方程。 1 0, ( , ) , 0, tt xx u u x b c t      u u x t  ( , ) u x t

4.1.1d'Alembert公式 首先考察初值问题 un uxex =0, x∈R,t>0, (4.1.1) u(x,0)=p(x),4,(x,0)=W(x),x∈R, (4.1.2) 其中p,少是已知函数。 做自变量变换 =x-t,n=x+1. 则方程(4.1.1)化为 %=0 关于7积分知，u:具有形式u=f(5) 再关于5积分知，u可以写成形式u=F(5)+G(7) 通解 代回原变量得 u(x,t)=F(x-t)+G(x+1) (4.1.3) 6

6 4.1.1 d ꞌAlembert 公 式 首先考察初值问题 0, , 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), , tt xx t u u x t u x x u x x x            （4.1.1 ） （4.1.2 ）  ,       x t x t , . 其中 是已知函数。 做自变量变换 则方程(4.1.1)化为 u 0.   关于 积分知，u 具有形式 u f   ( )  . 再关于 积分知，u 可以写成形式 u F G   ( ) ( )   . 代回原变量得 u x t F x t G x t ( , ) ( ) ( ),     （4.1.3 ） 通解

4.1.1d'Alembert公式 当F,G是二次可微函数时，上面通解表示的函数必满足波动方程。 利用初值条件(4.1.2)推得 F(x)+G(x)=p(x), (4.1.4) -F'(x)+G'(x)=W(x) (4.1.5) 将(4.1.5)两边积分，有 F(x)-G(x)=-∫w(y)+C, (4.1.6) 其中C是任意常数。将此式与(4.1.4)联立，解出Fx)和Gx),再把它们代入(x,t) 的表达式，得到 Mx0-2o(x+0+ox-]+20 (4.1.7) d'Alembert(达朗贝尔)公式 7

7 当F, G是二次可微函数时，上面通解表示的函数 u 必满足波动方程。 4.1.1 dꞌAlembert公式 利用初值条件(4.1.2)推得 F x G x x ( ) ( ) ( ),   （4.1.4）    F x G x x   ( ) ( ) ( ).  （4.1.5） 将(4.1.5)两边积分，有 0 ( ) ( ) ( ) , x x F x G x y dy C      （4.1.6） 其中 C 是任意常数。将此式与(4.1.4)联立，解出 F(x) 和 G(x)，再把它们代入 u(x, t) 的表达式，得到 1 1 ( , ) [ ( ) ( )] ( ) . 2 2 x t x t u x t x t x t y dy            （4.1.7） d’Alembert（达朗贝尔）公式

4.1.1d'Alembert公式 定理4.1.1当p∈C2(R),w∈C(R)时，则由d'Alembert公式给出的函数 u(x,t)∈C2(R×[0,o)且是问题(4.1.1)和(4.1.2)的古典解。 由上面的求解过程知，如果p≡yW≡0，则≡0，即解的唯一性成立 解的连续依赖性：d'Alembert公式→ (x,y)≤sup(x)+Tsup(x),x∈R,0≤t≤T (4.1.8) x∈R,t>0, 设1(i=1,2)是解： 4-0=0, (x,0)=0,(x),40(x,0)=y,(x),x∈R, 8

2  C ( ), 1  C ( ) 2 u x t C ( , ) ( [0, ))    8 4.1.1 dꞌAlembert公式 定理4.1.1 当 时，则由d’Alembert公式给出的函数 且是问题(4.1.1)和(4.1.2)的古典解。 由上面的求解过程知，如果    0 ，则 u  0 ，即解的唯一性成立. 解的连续依赖性： d’Alembert公式 ( , ) sup ( ) sup ( ) , , 0 . x x u x y x T x x t T          （4.1.8） 设 是解： ( ) ( 1,2) i u i  ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), , i i tt xx i i i t i u u x t u x x u x x x            

4.1.1d'Alembert公式 令u=D-2),则 4,-4x=0, x∈R,t>0, u(x,0)=0(x)-02(x),u,(x,0)=y1(x)-y2(x),x∈R 由估计式(4.1.8)得 suplu(x,t)ssup(x)2(x)+Tsupv(x)-v2(x) xER 0s1s7 这说明，在连续函数空间的范数意义下，若初值变化很小，则相应的解变化也很 小，也就是解关于初值的连续依赖性。 上面的讨论说明，初值问题(4.1.1)和（4.1.2)是适定的。 9

(1) (2) u u u   , 9 4.1.1 dꞌAlembert公式 1 2 1 2 0, , 0, ( ,0) ( ) ( ), ( ,0) ( ) ( ), , tt xx t u u x t u x x x u x x x x                 令 则 由估计式(4.1.8)得 0 1 2 1 2 sup ( , ) sup ( ) ( ) sup ( ) ( ) . t T x x x u x t x x T x x              这说明，在连续函数空间的范数意义下，若初值变化很小，则相应的解变化也很 小，也就是解关于初值的连续依赖性。 上面的讨论说明，初值问题（4.1.1）和（4.1.2）是适定的

4.1.1d'Alembert公式 注（①(4.1.3）式给出了方程(4.1.1)的通解(x,t)=F(x-)十G(x+).对于F(x-),在点x处于 初始时刻O,其值是Fx).当t>0时，在点x=x+t处的值仍然是F(x-)=F(x+t-) =F(xo).这说明，对于固定的t>0,Fx-)的图形是由F(x)的图形向右平移t的距离 而得到的。特别地，在单位时间内（即仁1），移动距离是1.也就是说，F(x-)保持初 始波形F(x)不变而以速度1向右传播。这个波称为右传播波或右行波。 类似地，G(x+)表示一个保持初始波形Gx)不变而以速度1向左传播的波。这个 波称为左传播波或左行波。 d'Alembert公式：初值问题(4.1.1)和(4.1.2)的解是一个右行波和一个左行波的叠加。 注(ii由d'Alembert公式(4.1.7)可知，当p∈C,w∈C-时有u∈C,但一般不再 具有更高阶的光滑性，这一点是和Laplace方程及热传导方程的解不一样的。 10

10 4.1.1 dꞌAlembert公式 注(i) (4.1.3)式给出了方程(4.1.1)的通解 u(x,t)=F(x-t)+G(x+t). 对于F(x-t), 在点x0处于 初始时刻 t=0, 其值是 F(x0 ). 当 t >0 时，在点 x= x0 +t 处的值仍然是 F(x-t)=F(x0+t-t) =F(x0 ). 这说明，对于固定的 t > 0, F(x-t)的图形是由 F(x) 的图形向右平移 t 的距离 而得到的。特别地，在单位时间内(即 t=1), 移动距离是1. 也就是说，F(x-t)保持初 始波形 F(x)不变而以速度 1 向右传播。这个波称为右传播波或右行波。 类似地，G(x+t)表示一个保持初始波形 G(x) 不变而以速度1向左传播的波。这个 波称为左传播波或左行波。 d’Alembert公式：初值问题(4.1.1)和(4.1.2)的解是一个右行波和一个左行波的叠加。 注(ii) 由d’Alembert公式(4.1.7)可知，当 时有 ，但 u 一般不再 具有更高阶的光滑性，这一点是和Laplace方程及热传导方程的解不一样的。 1 , k k   C C    k u C