电子科技大学：《偏微分方程 Partial Differential Equations》课程教学资源（课件讲稿）现代理论：第三章 二阶双曲型方程 3.1 二阶双曲型方程

电子神枝女学 例 956 第三章二阶双曲型方程 1

第三章 二阶双曲型方程 1

第三章二阶双曲型方程 ◆3.1二阶双曲型方程 ◆3.1.1定义 ◆3.1.2弱解的存在性 ◆3.1.3弱解的正则性

第三章 二阶双曲型方程  3.1 二阶双曲型方程  3.1.1 定义  3.1.2 弱解的存在性  3.1.3 弱解的正则性

3.1二阶双曲型方程 3.1.1定义 a双曲方程 与2.1中相同，令U,=U×(0,T],其中T>0,UcR"是有界开集。下面研 究初边值问题 unt Lu f, (x,t)∈Ur, u=0, (x,t)∈aU×(0,T], (7.61) u=g,ut h, (x,t)∈U×{t=0}, 其中，f:U,→R,g,h:U→R为已知函数，u=(x,):Ur→R为未知函数。对任 意>0，C表示一个二阶偏微分算子，具有散度形式

3.1.1 定义 与 2.1中相同，令 ，其中 ， 是有界开集。下面研 究初边值问题 其中， ， 为已知函数， 为未知函数。对任 意 ， 表示一个二阶偏微分算子，具有散度形式 3.1 二阶双曲型方程 : T f U  u u x t U   ( , ) : T U U T T  (0, ] T  0 g h U , :  t  0 a 双曲方程 § n U 

3.1二阶双曲型方程 3.1.1定义 2 Lu=-∑(a(c,t)u)z,+∑（(c,t)u:+c(c,tu, (7.62) i,j=1 i=1 或非散度形式 Lu=-∑a(,t)u西+∑(z,t)u+c(r,t)u, (7.63) 2,7=1 =1 a(x,t),b'(x,t),c(x,ti,j=1,…,n)为给定的已知函数

3.1.1 定义 或非散度形式 ( , ), ( , ), ( , )( , 1, , ) 为给定的已知函数。 ij i a x t b x t c x t i j n  3.1 二阶双曲型方程

3.1二阶双曲型方程 3.1.1定义 定义：如果存在一个常数0>0，使得 ∑(c,t)g9≥8lgl2,0,t)∈U,g∈R, (7.64) i,j= 则称二阶线性偏微分算子C+C是（一致） 双曲的。 o03

3.1.1 定义 定义：如果存在一个常数 ，使得 则称二阶线性偏微分算子 是（一致）双曲的。   0 2 2 t    3.1 二阶双曲型方程

3.1二阶双曲型方程 b弱解 定义：如果存在u∈L2(0,T,H(U)满足 W∈L(0,T;L2(U),"∈L2(0,T;H(U) 且满足 (i)u",v〉+B[u,w,t=(f,w),v∈L2(0,T;H-1(U),a.e.0≤t≤T, (i2)u(0)=g,u'(0)=h 则称函数为二阶双曲型方程初边值问题（7.61)的一个弱解

b 弱解 定义：如果存在 满足 且满足 则称函数 为二阶双曲型方程初边值问题（7.61）的一个弱解。 2 1 u L T H U (0, ; ( ))   2 2 2 1 u L T L U u L T H U (0, ; ( )), (0, ; ( )),      3.1 二阶双曲型方程 u

3.1二阶双曲型方程 3.1.2弱解的存在性 a Galerkini逼近 选取光滑函数wk=wk(x),k=1,…,)满足 {w}21是H(U)的正交基。（但不是标准的） (7.71) 且 {wk}°1是L2(U)的标准正交基，即w,w= (7.72) 固定一个整数m,则w,w2,…,wm}为H(U)中的m个线性无关的函数。令 umn(t)=∑d(t)uk, (7.73) k=1 其中，d(t)(0≤t≤T,k=l,2,…m)由下列常微分方程组的Cauchyl问题确定：

3.1.2 弱解的存在性 选取光滑函数 满足 且 固定一个整数 ，则 为 中的 个线性无关的函数。令 其中， 由下列常微分方程组的Cauchy问题确定： m ( )(0 , 1,2, ) k m d t t T k m    3.1 二阶双曲型方程 ( ), 1, ,) w w x k k k   w w w 1 2 , , , m 1 0 H U( ) m a Galerkin逼近

3.1二阶双曲型方程 a Galerkini逼近 d(0)=(g,wk)(k=1,…,m), (7.74) d'(0)=(h,w)(k=1,…,m), (7.75) (uh,wk)+B[um,wk;t=(E,wk),0≤t≤T,k=1,…,m。 (7.76) 定理1（逼近解的构造)：对于任意的整数m=1,2,…,存在唯一一个形如(7.73) 的函数4m满足（7.74)-(7.76)式

定理1（逼近解的构造）：对于任意的整数 ，存在唯一一个形如（7.73） 的函数 满足（7.74）-（7.76）式。 m 1,2, 3.1 二阶双曲型方程 m u a Galerkin逼近

3.1二阶双曲型方程 3.1.2弱解的存在性 b能量估计 定理2（能量估计)：存在仅依赖于U,T和C的系数的常数C,使得对m=1,2,.… 有 ax（um(t)川HU)+um(t)川z2(U)+2(o,T:H-1() 0≤t≤T C(f2(0.T:-))+llgl)+ll2)). (7.79)

定理2（ 能量估计）：存在仅依赖于 ， 和 的系数的常数 ，使得对 有 b 能量估计 U T C m 1,2, 3.1.2 弱解的存在性 3.1 二阶双曲型方程

3.1二阶双曲型方程 3.1.2弱解的存在性 c存在的唯一性 定理3（弱解的唯一性)：问题（7.61)存在一个弱解。 定理4（弱解的唯一性）：问题（7.61)的弱解是唯一的

c 存在的唯一性 定理3（弱解的唯一性）：问题（7.61）存在一个弱解。 定理4（弱解的唯一性）：问题（7.61）的弱解是唯一的。 3.1 二阶双曲型方程 3.1.2 弱解的存在性