电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第5章 平稳随机过程 第2节 平稳过程的自相关函数

§5.2平稳过程的自相关函数 平稳过程自相关函数的性质 定理5.2.1 复平稳过程{X(t),t∈T的自相关函 数Px(T),有如下性质： 1) R0)=EX(t)1≥0： 2)Rx()≤Rx(0);(Cx(T)≤Cx(0);) 3)Rx(-)=Rx(; 电子科技大学

电子科技大学 §5.2 平稳过程的自相关函数 一、平稳过程自相关函数的性质 复平稳过程{X(t),t∈T}的自相关函 数RX (τ), 有如下性质： 定理5.2.1 1) (0) [ ( ) ] 0; 2 R  E X t  2) ( ) (0); RX  RX  3) RX ()  RX (); ( ( ) (0);) CX  CX 

4) 非负定性 对Vn≥1，t1,…,tn∈T, 及复数1,23,0n有 ∑a,aRx(t-t)20. 证明 k,j=1 1) Rx(0)=E{X()X()}=EX(t)}≥0： 2)由许瓦兹不等式 Rx()=Rx(t,t+)=E(X()X(+)) s E[X(t)'JEIX(t+)]=R(0); 电子科技大学

电子科技大学 4) 非负定性 1, , , , 对n  t1  tn T 及复数 α1 ,α2 ,…,αn有     n k j j k X k j R t t , 1   ( ) 0. 证明 1) (0) { ( ) ( )} { ( ) } 0; 2 RX  E X t X t  E X t  2）由许瓦兹不等式 2 2 2 R ( )  R (t,t  )  E(X(t)X(t  )) X X [ ( ) ] [ ( ) ] (0); 2 2 2 RX  E X t E X t  

3)Rx(x)=EX(t)X(t+)川=EX(t)X(t+川 =E[X(t+)X(i++(-)=Rx(-); 4) ∑a,aRxt-) k,j=1 =∑a,a,EX4,)X4l k,i=1 aaX(X(X()10 k,i=1 k=1 电子科技大学

电子科技大学 3) R ( )  E[X(t)X(t  )]  E[X(t)X(t  )] X  [ (  ) (  ( ))] ( ); RX E X t X t    n k j j k X k j R t t , 1 4)   ( )    n k j j k j k E X t X t , 1 [   ( ) ( )]    n k j j k j k E X t X t , 1   [ ( ) ( )] [ ( ) ] 0 2 1     n k k k E X t

推论1 实平稳过程{X(),t∈T的Rx()有： 1) R(0)≥0； 2)Rx(T)≤Rx(0)； 3)Rx(-T)=Rx(); 4)具有非负定性. 随机二 随机电 Rx(T) 元传输 报信号 T 电子科技大学

电子科技大学 实平稳过程{X(t),t∈T}的RX 推论1 (τ)有: 1) R(0)  0; 2) ( ) (0); RX  RX  3) (  ) ( ); RX   RX 4) 具有非负定性. －T 0 T 1 随机二 RX(τ) 元传输 随机电 报信号

Ex.1讨论随机过程{X(t),仑0}是否为平稳 过程，其中X(t)=sinot,,o在[0,2π]上服从均 匀分布. 解R(S,t)=EX(S)X(t) 60sinosinodo 1「sin2π(t-s) sin2π(t+s) 4元 t-s t+s R(S,)不是关于S-t的偶函数，故实随机过程 X(t),0}不是平稳过程. 电子科技大学

电子科技大学 Ex.1 讨论随机过程{X(t ), t≥0}是否为平稳 过程，其中X(t)=sinωt, ω在[0, 2π]上服从均 匀分布. 解 R(s,t)=E(X(s)X(t))        2 0 2 1 sin s sin td                t s t s t s sin 2 (t s) sin 2 ( ) 4 1 R(s,t)不是关于s−t 的偶函数, 故实随机过程 {X( t ),t≥0}不是平稳过程

定理5.2.2 如果{X(t),t∈T}是周期为L的周期 平稳过程，即有PX(什L)=X()}=1, 则Rx()也是周期函数，有R(t+L)=R(T) 证 P{X(t-x)X(t+L)=X(t-)X(t)}=1, →P{X(t-x)X(t+)-X(t-)X(t)=0}=1. EX(t-t)X(t+L)-X(t-t)X(t)=0, Rx(L+T)=Rx(T). 电子科技大学

电子科技大学 定理5.2.2 如果{X(t), t∈T }是周期为L的周期 平稳过程, 即有P{X(t+L)= X(t)}=1， 则RX(τ)也是周期函数, 有 R(τ +L)= R(τ). 证 P{X(t- )X(t  L)  X(t- )X(t)}  1, P{X(t- )X(t  L) X(t- )X(t)  0}  1. E{X(t- )X(t  L) X(t- )X(t)}  0, RX(L+τ)= RX(τ)

Ex.2设平稳过程X(t)的相关函数为Rx(t), 且Rx(什L)=Rx),L为一个常数，L>0,试证： X(t什L)=X()依概率为1成立； 定理 证因 Rx(0)-Rx(L)=0, 5.2.2 由切比雪夫不等式，对Vε>0， 的逆 PX+-Xo小esEX+-K 2 =3Rx0-Rx(L=0, → P{X(t+L)≠X(t)}=0, 电子科技大学

电子科技大学 Ex.2 设平稳过程X( t )的相关函数为RX(τ), 且RX(t+L)= RX(t), L为一个常数, L>0, 试证： X(t+L)=X(t) 依概率为1成立； 定理 5.2.2 的逆 证 因 由切比雪夫不等式，对   0, RX (0)  RX (L)  0, 2 2 ( ) ( ) { ( ) ( ) }   E X t L X t P X t L X t       [ (0) ( )] 0, 2 2     RX RX L P{X(t  L)  X(t)}  0

定理5.2.3 实平稳过程{X),t∈T均方连续 的充要条件是相关函数R()在T=0处 连续，且此时R()处处连续。 证充分性设R()在=0处连续，则 对Vt,∈T, lim Rx(t-to)=Rx(0), t→t0 X()-X)]=EX()-X()IX()-X(t,)I》 =EX(t)X(t川+EX(t)X(t)川 -EX(t)X(to)川-EX(t)X(t)川 电子科技大学

电子科技大学 定理5.2.3 实平稳过程{X(t),t∈T}均方连续 的充要条件是相关函数RX (τ)在 处 连续, 且此时RX (τ)处处连续. 证 充分性 设RX (τ)在τ= 0 处连续, 则 0 对t T, 0 0 lim ( ) (0), X X t t R t t R    2 0 E[ X(t) X(t ) ] 0 0 E{[X(t) X(t )][X(t) X(t )]} 0 0 0 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t     τ = 0

=2Rx(0)-Rx(t-t川→0，(ast→t0). 即X(t)在T上均方连续. 必要性若X(t)在仁t处均方连续，有 IimE可X(t)-X()'I=0 t→to 在上式，令t=t一，可得 lim[Rx(0)-Rx(r)川=0， c>0 即Rx()在t=0处连续. 任意性对任意0， 电子科技大学

电子科技大学 0 2[ (0) ( )] 0, RX RX   t  t  0 (as t  t ). 即X( t )在T上均方连续. 必要性 若X( t )在 t=t0处均方连续, 有 lim [ ( ) ( ) ] 0 2 0 0    E X t X t t t 在上式, 令τ= t－t0，可得 lim[ (0) ( )] 0, 0      RX RX 即RX(τ)在τ=0处连续. 任意性 , 0 对任意

Rx(z)-Rx(o)=E{X(t)[X(t+z)-X(t+z)l} sElX(t)2JE[X(t+t)-X(t+to)] =R(O)EX(t+)-X(t+o)'], 由于X(t)在t+处均方连续，有 lim EI X(t+)-X(t+)]=0 t→T0 lim Rx()=Rx(o) T→T0 由t0的任意性知R(⑦)处处连续， 电子科技大学

电子科技大学 2 0 ( ) ( ) RX  RX 2 0  E{X(t)[X(t  ) X(t  )]} [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 2 0 2  E X t E X t    X t   (0) [ ( ) ( ) ], 2 0 2  R E X t    X t   X 由于X( t ) 在t +0处均方连续, 有 0 2 0 lim E[ X(t ) X(t ) ] 0          0 0 lim ( ) ( ) RX RX       由τ0 的任意性知RX (τ)处处连续