电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第3章几类重要随机过程 第2节 维纳过程

§3.2维纳过程 、维纳过程的数学模型 维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗 在观察漂浮在液面的花粉运动一布朗运动 规律时建立的随机游动数学模型. EX.1(高尔顿钉板模拟试验) 将一个小球投入无限大高尔顿钉板内，小球 各以一的概率向左或向右移动一格。 电子科技大学

电子科技大学 §3.2 维纳过程 一、维纳过程的数学模型 EX.1 (高尔顿钉板模拟试验) 维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗 在观察漂浮在液面的花粉运动—布朗运动 规律时建立的随机游动数学模型

§3.3维纳过程 0 0 在第k层向右位移一格 ,在第k层向左位移一格 X(k) -1 1 P(X(k)=i} 1/2 1/2 电子科技大学

电子科技大学 P{X(k)=i } X(k) －1 1 1/ 2 1/ 2 §3.3 维纳过程

§3.3维纳过程 {X(k),k∈N+}是一个独立随机过程，令 n Y(m)=∑X(k), 小球在第n次碰 k=0 撞后所处位置 {Y(n),n∈N}是一个平稳独立增量过程. 均值函数为 =0, 方差函数为 D[Y(m=〉∑. D(X(k))=n, k=1 电子科技大学

电子科技大学 {X(k), k∈N+} 是一个独立随机过程,令    n k Y n X k 0 ( ) ( ), {Y(n),n∈N+}是一个平稳独立增量过程. 小球在第n 次碰 撞后所处位置 §3.3 维纳过程

§3.3维纳过程 由独立同分布中心极限定理知 Sn→o∞ p k=1 n ≤y→Φ(y) 即Ym)= Y(n) n=1,2,…依分布收敛于标 准正态分布随机变量 参见教材P41花粉 微粒的一维运动 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学 由独立同分布中心极限定理知 ( ) ( ) ( ) 1 y y n X k y P n Y n P n k                        as n   , 1,2, ( ) ( ) *  n  n Y n 即Y n 依分布收敛于标 准正态分布随机变量. 参见教材P41花粉 微粒的一维运动

§3.3维纳过程 泛函中心极限定理(functional central limit Theorem)设随机变量序列{X,t=1,2,.}是 相互独立同分布的，且满足： 1)E(X)=0; 2)D(X)=E(X)=o2<o; 设r为闭区间[0,1]上的任一正实数，则统计量 R-2x t=0 sT→o,R(r)弱收敛于W(r). 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学 泛函中心极限定理(functional central limit Theorem) 设随机变量序列{Xt ,t =1,2, …}是 相互独立同分布的，且满足： 1) ( )  0; E Xt 2) ( ) ( ) ; 2 2 D Xt  E Xt     设r为闭区间[0, 1]上的任一正实数，则统计量 [ ] 0 ( ) Tr T t t R r X    as T , R (r) W (r).   T 弱收敛于

§3.3维纳过程 其中W(r),r∈[0,1满足： D[W(r]随 (1)W(0)=0; 时间的推移 (2)EW(r)}=0; 而增大 (3)WN(0σ2r),(G>0) 、(4)具有平稳独立增量； 二、维纳过程的定义 定义3.2.1若随机过程{W(),仑0}满足上条 件(1)~(4)称{W(t),仑0}是参数为σ2的维纳过程 (或布朗运动)· 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学 其中W (r), r [0, 1]满足： （1）W(0)=0; （2）E{W(r)}=0; （4）具有平稳独立增量; （3）W(r) ～N(0,σ2r ), (σ＞0). D[W(r)]随 时间的推移 而增大 二、维纳过程的定义 定义3.2.1若随机过程{W(t), t≥0}满足上条 件(1)~(4)称{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程 （或布朗运动）

§3.3维纳过程 维纳过程应用广泛：电路理论、通信 和控制、生物、经济管理等. 维纳过程的研究成果应用于计量经济学， 使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用 于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融 商品价格的研究。 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学 维纳过程应用广泛：电路理论、通信 和控制、生物、经济管理等. 维纳过程的研究成果应用于计量经济学， 使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用 于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融 商品价格的研究

§3.3维纳过程 三、维纳过程的分布 1.一维分布：Wt)N(0,G2t); 2.增量分布：W(t)一WsN(0,σ2|t一s); 设t>5,因W(O)=0,且Wt)是平稳独立增量 过程，故 W(t)-W(s)=W(t-s+s)-W(s) 与 W(t-s)-W(0)=W(t-s) 有相同分布N(0,G2(t一S). 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学 三、维纳过程的分布 1. 一维分布： W( t ) ～N(0,σ2 t)； 2. 增量分布： W( t) －W( s)～N(0,σ2 |t－s|); 设t＞s ，因W(0)=0, 且W( t )是平稳独立增量 过程，故 有相同分布N(0,σ2(t－s)). W (t) W (s)  W (t  s  s) W (s) 与 W (t  s) W (0)  W (t  s)

§3.3维纳过程 3.维纳过程是正态过程， 证 设维纳过程{W(t),20}的参数是2， 任取n及t1<t2<…<tn, Xk≌W(tk)-W(tk-1), 则Xk~N(0,o2(t-tk-1), t=0,k=1,2,…,n 相互独立，且有 W(tk)=X1+X2+…+Xk 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学 3. 维纳过程是正态过程. 证 设维纳过程{ W( t ),t≥0}的参数是σ2 ， , 1 2 n 任取n及t  t   t ˆ ( ) ( ), k  k  k1 X W t W t ~ (0, ( )), 1 2 k k  k 则 X N  t t 相互独立，且有 t0  0,k  1,2,,n k X X Xk W (t )  1  2 

§3.3维纳过程 W(4) 0 0 正态随机 W(t2) 1 1 0 0 0 X2 向量的线 二 1 1 1 0 0 性变换服 W(t) 从正态分 1 1 1 布。 四、维纳过程的数字特征 维纳过程是 1.E[W(t=0;D[W(t)]=o2t 平稳独立增 2.C(s,t)=R(s,t)=o2min(s,t) 量过程 电子科技大学

§3.3 维纳过程 电子科技大学       ( ) ( ) ( ) 2 1 n W t W t W t       1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0            Xn X X  2 1 正态随机 向量的线 性变换服 从正态分 布。 四、维纳过程的数字特征 1. E[W(t)]=0; D[W(t)]=2 t 2. C(s, t)=R(s,t)=σ2min(s,t) 维纳过程是 平稳独立增 量过程