吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 04-1-2 §2 行列式的性质

性质6把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一个数然后加另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变 例如 C13 d21 d22 a23 C31 C32 an a12 a21 02 a2s +ka 32 a3s ka

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 31 32 33 31 21 22 23 21 11 12 13 11 a a a k a a a a k a a a a k a + + + = ⚫ 例如 性质6 把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一个数然后加另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变

三、用行列式的性质 计算行列式 例1计算 3 2 -5 3 D 2 1

三、用行列式的性质 计算行列式 ⚫例1 计算 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D =

2 解：D= 2 1 2 -5 -4 G←→C2 0 2 -1 4+5 2 3 -3 0 16 1 3 2 3 0 2 -15+43 0 2 0 -8 -61 4-8r 0 0 8 0 16 -2 7 0 -10 15

1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D = 0 16 2 7 0 8 4 6 0 2 1 1 1 3 1 2 2 3 − − − − − r  r 0 0 10 15 0 0 8 10 0 2 1 1 1 3 1 1 8 4 4 2 3 2 − − − − − + r r r r 1 2 1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1 5 1 3 3 c c − − −  − − − − 解： 2 1 4 1 1 3 1 2 0 8 4 6 5 0 2 1 1 0 16 2 7 r r r r − − − − − + − −

3 2 5 2 4 8 10 =40

2 5 0 0 0 0 0 8 10 0 2 1 1 1 3 1 2 4 5 4 3 − − − r + r = 40

例2.计算 3 1 1 3 1 1. 1 3 1 1 1 3

⚫例2. 计算 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 D =

解： 3 1 6 3 1 1 3 D 3 +2++4 1 1 3 3

1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 D = 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 6 6 6 6 1 2 3 4 r + r + r + r 解：

1 2-1111 3 1 乃- 020 0 6 ×6=48 1 3 1 T4- 0 020 1 3 0 0 02

1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 = 6 6 48 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 4 1 3 1 2 1  = − − − r r r r r r

●例3计算 a b C a a+b a+b+c a+b+c+d D= a 2a+b 3a+26+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d

⚫例3 计算 a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2

解：从倒数的二行开始，把前一 行的(-1)倍加到后一行上去。 a a a+b a+b+c a+b+c+d D a 2a+b 3a+26+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+36+c 10a+66+3c+d b d 0 a+b a+b+c 2a+b 3a+26+c 3a b 6a+3b+c

⚫ 解： 从倒数的二行开始，把前一 行的（-1）倍加到后一行上去。 a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d + + + + + + + + + = 0 3 6 3 0 2 3 2 0

。同理，可得： C a+b a+b+c a 2a+b a 3a+b a b C d a a+b a+b+c a 2a+b a

⚫ 同理，可得： a a b a a b a a b a b c a b c d + + + + + = 0 0 3 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 2 0 a a a a b a a b a b c a b c d = + + + + =