《竞赛数学》课程教学资源（阅读文章）根号2为什么是无理数

圣才学习网 www.100xuexi.com √万是无理数 我们可以知道对于边长为1的单位正方形，如以它的对角线为边作一个正方形，新正方形的面积是单 位正方形的两倍，即面积是2. 平方为2的数，称为2的平方根.其中正的一个记为√2（显然，-√反的平方也是2） 易知V2>1,√2<2.实际上V2=1.41421356…是一个无理数 怎么证明V反是无理数，也就是它不是有理数，不能表示成”(m、刀为正整数)的形式呢？ 假设有 (o 5-m (1) m、n为正整数，且m、n互质，那么去分母，并且两边平方得 2n2=m2 (2) 将(2)的两边都分解因数，即将m、n都写成质因数的乘积，由于(2)的右边是平方数m2,所以 右边质因数2的指数应当是偶数（包括0）.同理，n2的分解式中，2的指数也应当是偶数，但2的分解 式中，2的指数是奇数（偶数加1是奇数）.因此，(2)式两边2的指数不相等。(2)不可能成立.即√2是 无理数. 类似地，可以证明√5，√5,6，√万乃至√仄，(k不是平方数)都是无理数. 圆周率π也是无理数.但它的证明很难 圣才学习网 www.lO0xuexi.com

2 是无理数 我们可以知道对于边长为 1 的单位正方形，如以它的对角线为边作一个正方形，新正方形的面积是单 位正方形的两倍，即面积是 2. 平方为 2 的数，称为 2 的平方根.其中正的一个记为 2 （显然， − 2 的平方也是 2）. 易知 2 1 > ， 2 2 < .实际上 2 1.41421356 = …是一个无理数. 怎么证明 2 是无理数，也就是它不是有理数，不能表示成 m n （ 、 为正整数）的形式呢？ m n 假设有 2 m n = （1） m 、 为正整数，且 、 n m n 互质，那么去分母，并且两边平方得 2 2n m= 2 （2） 将（2）的两边都分解因数，即将 、 都写成质因数的乘积，由于（2）的右边是平方数 ，所以 右边质因数 2 的指数应当是偶数（包括 0）.同理， 的分解式中，2 的指数也应当是偶数，但 的分解 式中，2 的指数是奇数（偶数加 1 是奇数）.因此，（2）式两边 2 的指数不相等.（2）不可能成立.即 m n 2 m 2 n 2 2n 2 是 无理数. 类似地，可以证明 3 ， 5 ， 6 ， 7 乃至 k ，（ 不是平方数）都是无理数. k 圆周率π 也是无理数.但它的证明很难. 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com