吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 20-2-习题课

例8：已知A= 且AX+B=X,求矩阵X 5-3 解：由AX+B=X,得X-AX=B、(E-A)X=B

例8：已知 0 1 0 1 1 1 , 1 0 1 A     = −      − − 1 1 2 0 5 3 B   −   =       − 且AX+B=X，求矩阵X 解：由AX+B=X，得X-AX=B、（E-A）X=B 1 1 0 1 0 1 1 0 2 E A   −   − = −       且 E A −  0

E-A可逆 .X=(E-A)1B -3 …求时 3 -1 2 0 1-1

1 X E A B ( )  = − − 0 2 1 1 1 1 3 2 1 2 0 3 0 1 1 5 3 X    −     = −          − − 1 0 2 1 1 ( ) 3 2 1 3 0 1 1 E A −     − = −    −   9 3 3 1 1 6 0 2 0 3 3 3 1 1     − −     = =             − −  E-A可逆

例9：设 矩阵X满足AX+E=A+X,求矩阵X 解：由于AX+E=AP+X,所以AX-X=-E, .(A-E)X=(A-E)(A+E) 00-1 A-=0-10 =-1≠0..A一E可逆 -100 x+E=70

例9：设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A     =       矩阵X满足 2 AX E A X + = + , 求矩阵X 解：由于 2 AX E A X + = + , 所以 2 AX X A E − = − ,  − = − + ( ) ( )( ) A E X A E A E 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 A E − − = − = −  −  − A E 可逆 201 0 3 0 102 X A E    = + =        

例10：设AP=PB,其中 求A及A 解： 0 -10 =-1≠0，.∴.P可逆 P-1

例10：设AP=PB，其中 1 0 0 1 0 1 0 0 0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 1 B P         = = −             − 求A及 5 A 解： 1 0 1 0 1 0 1 0, 0 0 1 P = − = −  P 可逆 1 1 0 1 0 1 0 , 0 0 1 P −   −   = −      

·,·AP=PB, A=PBP

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A PBP−     −      = = − −         −     AP PB = , 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1    − −    = −          − 1 0 2 0 0 0 0 0 1   −   =       − 5 5 1 5 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A PB P− =       −       = − −       −       1 0 2 0 0 0 0 0 1   −   =       −

例11：设A,B均为n阶矩阵，如果 AB可逆，则A,B均为可逆矩阵。 证：AB可逆AB≠0，即 AB≠O..A≠O,B≠ .”.A,B均为可逆矩阵 例12：设A,B均为n阶方阵，且A=号(B+E), 证明=A,当且仅当B2=E 证：若=A,则有A(A-E)=0,将A代入即得 B2=E.由4=(B2+2B+E)若B2=E则 AF=42B+20)=(B+E)=A 证毕

例11：设A，B均为n阶矩阵，如果 AB可逆，则A，B均为可逆矩阵。 证: AB 可逆   AB 0, 即 0 0, 0 , A B A B A B      均为可逆矩阵 例12：设A，B均为n阶方阵，且 1 ( ), 2 A B E = + 证明 2 A A = , 当且仅当 2 B E = . 证：若 2 A A = , 则有 A A E ( ) 0, − = 将A代入即得 2 B E = . 由 2 2 1 ( 2 ) 4 A B B E = + + 若 2 B E = 则 2 1 1 (2 2 ) ( ) 4 2 A B E B E A = + = + = 证毕

例13：已知n阶方阵A满足E-A+A=0, 证明A可逆. 证：由E-A+A=0,得A(E-)∈E, .A可逆 例14：设A,B为n阶方阵，且A为对称矩阵， 证明BAB也为对称矩阵 证：(BAB)=BA(B) =BAB ..BAB为对称矩阵

例13：已知n阶方阵A满足 2 E A A − + = 0, 证明A可逆. 证:由 2 E A A − + = 0, 得 A E A E ( ) , − =  A 可逆. 例14:设A ,B为n阶方阵 ,且A为对称矩阵, 证明 T B AB 也为对称矩阵 证: ( ) ( ) T T T T T T B AB B A B = T = B AB T B AB 为对称矩阵

例15：已知n阶方阵A满足A=4E, 证明A-E,A-2E均可逆。 证：由A=4E,得A-E=3E, (A-E)(A+A+E)=3E A-E可逆(4-=f+A中E) 由4=4E得A-8E=-4E, (A-2E)(2+2A+4E)=-4E (A-2E)可逆 (A-2B)3=-4(4+2A+4E)

例15:已知n阶方阵A满足 3 A E = 4 , 证明 A-E ,A-2E 均可逆。 证：由 3 A E = 4 , 得 3 A E E − = 3 , 2 ( )( ) 3 A E A A E E − + + =  − A E 可逆 1 2 1 ( ) ( ) 3 A E A A E − − = + + ( 2 ) A E − 可逆 由 3 A E = 4 得 3 A E E − = − 8 4 , 2 ( 2 )( 2 4 ) 4 A E A A E E − + + = − 1 2 1 ( 2 ) ( 2 4 ) 4 A E A A E − − = − + +

例16：如果矩阵A满足A=-A, 则称A为反对称矩阵，证明任一n阶 方阵B均可表示成一个对称矩阵和 一个反对称矩阵之和。 证：B= B+B B-B+B+B 正-B)+B+B) :(G(B-B)=(B-B)=-(B-B) .之(B一B)为反对称矩阵 ,(G(B+B)》=(B+B)=(B+B) ..(B+B) 为对称矩阵，因此结论得证

例16：如果矩阵A满足 , T A A = − 则称A为反对称矩阵，证明任一n阶 方阵B均可表示成一个对称矩阵和 一个反对称矩阵之和。 证： 2 2 T T B B B B B B B + − + + = = 1 1 2 2 ( ) ( ) T T = − + + B B B B 1 2 ( ) T  − B B 为反对称矩阵 1 1 1 2 2 2 ( ( )) ( ) ( ) T T T T B B B B B B + = + = + 1 2 ( ) T  + B B 为对称矩阵，因此结论得证. 1 1 1 2 2 2 ( ( )) ( ) ( ) T T T T B B B B B B − = − = − −

例17：设n阶矩阵A的伴随矩阵为A, 证明1.若A=0,则A*料=0， 24利=A 证：1.假设A州≠0，则A 可逆 令B=(A):(AA=(4AE4=0 (A)AA=0A=0A=0A=0 矛眉A=0

例17：设n阶矩阵A的伴随矩阵为 * A , 证明 1. 若 A = 0, 则 A* 0, = 证：1.假设 A* 0,  则 * A 可逆 令 * 1 B A( )− = * 1 * * 1 ( ) ( ) 0 A A A A A E A − − = = * 1 * * * ( ) 0 0, 0 0 A A A A A A −  =  = =  = 矛盾 *  = A 0 1 * , n A A − 2. =