吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性 36-4-4 §4 向量组的秩

例1全体n维向量构成的向量组记作R?,求R的一个 极大无关组和R的秩。 解我们已经证明了n维单位坐标向量构成的向量组 E:el,e2,"",en 是线性无关的，而任意+1个n维向量都线性相关，因此 向量组E是Rm的一个极大无关组，且R”的秩等于n。 显然，任何n个线性无关的n维向量都是R"的极大无关 组，故R的极大无关组有无穷多个

例1 全体 n 维向量构成的向量组记作Rn ,求Rn的一个 极大无关组和Rn的秩。 解 我们已经证明了n维单位坐标向量构成的向量组 E: e1 ,e2 ,…,en 是线性无关的，而任意 n+1 个 n 维向量都线性相关，因此 向量组 E 是 Rn 的一个极大无关组，且 Rn 的秩等于 n。 显然，任何 n个线性无关的n 维向量都是Rn的极大无关 组，故 Rn 的极大无关组有无穷多个

例2设矩阵 2 A= 4 9 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无 关组的列向量用极大无关组线性表示。 解对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵 1

例2 设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 ,   − −   −   =   − −     − A 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无 关组的列向量用极大无关组线性表示。 解 对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 ,   −   −     −     A

显然R(4)=3,故列向量组的极大无关组含3个解向量。而 三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故a1,a2,a4为列 向量组的一个极大无关组。这是因为： 行变换 01 知R(a1,a2,a4）=3,故a1,a2,a4线性无关

显然R(A) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个解向量。而 三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 α1 , α2 , α4为列 向量组的一个极大无关组。这是因为： 知 R(α1 ,α2 ,α4 ) = 3,故α1 ,α2 ,α4线性无关。 ( 1 2 4 ) 111 0 1 1 0 0 1 000    , , , 行变换            

为把a3,as用a,2,a,线性表示，把A再变成最简形矩阵 -1( 即得 0a30102 a5=404+302304

为把α3 ,α5用α1 ,α2 ,α4线性表示，把A再变成最简形矩阵 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 ,   −   −     −     A 即得 α3 = －α1－α2 α5 = 4α1 + 3α2－3α4

定理7设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B 的秩不大于向量组A的秩。 证设向量组B和A的一个极大无关组分别为 B0:b1,b2,,bn, Ao:a1a2,"",as 要证r≤S。 因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A 组能由A,组线性表示，故B,组能由A,组线性表示，即 (6,b,…,b,)=(a.a2,a,)

定理7 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B 的秩不大于向量组A的秩。 证 设向量组 B 和A 的一个极大无关组分别为 B0 : b1 , b2 ,…, br , A0 : α1 ,α2 ,…,αS , 要证r ≤ s 。 因B0组能由 B组线性表示，B 组能由 A组线性表示，A 组能由 A0组线性表示，故 B0组能由 A0组线性表示，即 ( ) ( ) 11 1 1 2 1 2 1 r r s s sr k k b ,b , ,b , , , , k k        =      

如果>s,则方程组 (Kx=0) 有非零解，从而方程组 (a1,a2,·,as)Kx=0 有非零解，即 (b1,b22,b,x=0 有非零解，这与B,组线性无关矛盾，因此r>s不能成立，故 r≤S

如果r>s,则方程组 Ks×r 1 r x x           = 0 ( Kx = 0 ) 有非零解，从而方程组 (α1，α2，… ，αs )Kx = 0 有非零解，即 (b1 ,b2 ,…,br )x = 0 有非零解，这与B0组线性无关矛盾，因此r>s 不能成立 ,故 r ≤ s

推论1等价的向量组的秩相等。 证设向量组A与向量组B的秩分别为s和r,因两个 向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故s≤与 r≤s同时成立，所以s=r。 推论2设Cmx=Amx,B,xn'则R(C)≤mn{RR(B)} 证将矩阵C和A用其列向量表示为 C=（C1,C2,,Cn),A=(41,2,,4),B=(b） 由 (CC2,…,Cm)=(41,423,a)

推论1 等价的向量组的秩相等。 证 设向量组A与向量组B的秩分别为 s 和 r，因两个 向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故 s ≤ r与 r ≤ s 同时成立，所以s = r。 推论2 设Cm×n= Am×s Bs×n，则 证 将矩阵C 和 A用其列向量表示为 C = ( c1 ,c2 ,…,cn ) , A = ( a1 ,a2 ,…,as ) , B = ( bij ) , 由 1, 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) c c c a a a n s = 11 1 1 , n s sn b b b b           R C R A R B ( ) ( ), ( ) .  min 

知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，因此 R(C)≤RA). 因CT=BTAT,同理可证R(CT)≤R(B)。 即 R(C)≤R(B)。 故 R(C)≤min{R(A),R(B)} 注：定理7与推论2是同一个原理的两种表现形式，定 理7是以向量的形式表现的，而推论2则是以矩阵的形式 表现的

知矩阵 C 的列向量组能由 A的列向量组线性表示，因此 R(C) ≤ R(A)。 因 CT = BTAT ,同理可证R(C T) ≤ R(BT)。 注：定理7与推论2是同一个原理的两种表现形式，定 理 7 是以向量的形式表现的，而推论 2 则是以矩阵的形式 表现的。 即 R(C ) ≤ R(B)。 故 min R C R A R B ( ) ( ), ( ) .   

推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组 B是向量组A的一个极大无关组。 证设向量组B含r个向量，则RB)=r,因A组能由B 线性表示，故R(A)≤r，从而A组中任意+1个向量线性相 关。所以向量组B满足极大无关组的条件，故向量组B是向 量组A的一个极大无关组

推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组 A能由向量组B 线性表示，则向量组 B是向量组A的一个极大无关组。 证 设向量组B含r个向量，则 R(B) = r ，因 A 组能由 B 线性表示，故 R(A) ≤ r ，从而A 组中任意 r+1个向量线性相 关。所以向量组B 满足极大无关组的条件，故向量组B是向 量组A的一个极大无关组

例3设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩 相等，证明向量组A与向量组B等价。 证设向量组A、B的秩均为r,并设A组和B组的极大无 关组分别为： A0:a1,a2,…,a, B0:b1,b2,…,b, 因B组能由A组线性表示，故B,组也能由A,组线性表示 即有阶方阵K使 (b1,b2,,bn)=(a1,a2,,an)K

例3 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩 相等，证明向量组 A与向量组B等价。 证 设向量组A、B的秩均为r,并设A组和B组的极大无 关组分别为： A0 : α1 , α2 , … , αr B0 : b1 , b2 , … , br 因B组能由A组线性表示，故B0组也能由A0组线性表示, 即有r阶方阵Kr使 （b1 , b2 , … , br）＝（α1 , α2 , … , αr）Kr