吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 50-5-4 §4 对称矩阵的相似矩阵

P-AP=∧ 其中对角矩阵Λ的对角元素含个入，2个入2，…，个入， 恰是A的m个特征值 4 例1设 A 求一个正交矩阵P,使PAP=人为对角矩阵 解①由4一入E=0,求A的全部特征值. 4-入0 0 A-入E 3-入1 =(4-入)22-6入+8) 13-入

. 1 =  − P AP , , , , 1 1 2 2 s s 其中对角矩阵的对角元素含r个 r 个  r 个 恰是A的n个特征值. 例1 设 , 0 1 3 0 3 1 4 0 0           A = , . 求一个正交矩阵P 使P −1 AP = 为对角矩阵 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. −  −  −  −  = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E (4 )( 6 8) 2 = −  −  +

=2-入(4-入)2=0 得A的特征值为入，=2，入2=入，=4 (2)由(A-入E)x=0,求A的特征向量当)=2时，由 x 解得 k0任意 取c

(2 )(4 ) 0 2 = − − = 2, 4. 得A的特征值为1 = 2 = 3 = (2).由(A−E)x = 0,求A的特征向量.当1 = 2时,由 , 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 3 2 1           =                     x x x , 1 1 0 1 3 2 1           − =           k x x x 解得 k1≠0任意. , 1 1 0 1           − 取c = . 1 1 0 2 1 1           − 单位化p =

当入2=入3=4时，由 解得 =k0 k, 基础解系中两个向量恰好正交，单位化得两个正交的 单位的特征向量

当2 = 3 = 4时,由 , 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 3 2 1           =                     − − x x x 基础解系中两个向量恰好正交,单位化得两个正交的 单位的特征向量. . 1 1 0 2 1 , 0 0 1 2 3           =           p = p 1 2 1 2 3 1 0 0 1 , 0 1 x x k k x             = +                   解得

(3)将求得的pP2,拼成一个正交矩阵P即 P=(P,P2,P3) 51万 (4)可以验知确有 P-AP=PAP

(4)可以验知确有 . 0 0 4 0 4 0 2 0 0 1 T           = = − P AP P AP 1 2 3 0 1 0 1 1 ( , , ) . 0 2 2 1 1 0 2 2 P p p p         = =       −    1 2 3 p p p P (3) , , . 将求得的 拼成一个正交矩阵 即

在此例中对应于λ=4，若求得方程(A一入E)x=0的基 础解系 6 则测需把它施密特标准正交化： I

在此例中对应于λ=4,若求得方程(A－ λ E) x = 0 的基 础解系 则需把它施密特标准正交化: . 1 1 1 3 1 1 1 1           = = b b e 1 2 1 1 1 , 1 , 1 1       −     = =             1 1 令b =

b,=a -a,eje =-a4A 2 6

          −          − = 1 1 1 3 1 1 1 1                 − = 3 2 3 2 3 4 , 1 1 2 3 2          − = . 1 1 2 6 1 2 2 2          − = = b b e b e e 2 2 2 1 1 = −   ,    1 2 2 1 2 1 , b b b = −  

于是得正交矩阵 1315 可以验知仍有 PAP=人. 由此可见，把一个方阵化成对角矩阵所用的正交变换矩 阵P不是唯一的

于是得正交矩阵                   − − = 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 2 3 1 0 P 可以验知仍有 . T P AP =  由此可见,把一个方阵化成对角矩阵所用的正交变换矩 阵P不是唯一的

例2设矩阵 A= 10 矩阵B=(kE+A),其中k为实数，E为单位矩阵 求对角矩阵∧使B与∧相似，并求为何值时，B为奇异矩阵 解由 9 2-λ0 01-入 -1 =(2-入)}

例2 设矩阵 , 1 0 1 0 2 0 1 0 1           A = ( ) , , , 矩阵B = kE +A 2 其中k为实数 E为单位矩阵 求对角矩阵,使B与相似,并求k为何值时,B为奇异矩阵. 解 由 −  −  −  −  = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A E ( ) −  −  = −  1 1 1 1 2 (2 ) , 2 =  − 

可得A的特征值为入，=入2=2，入3=0 记对角矩阵 20 00 因为A为对称矩阵，故存在正交矩阵P,使PTAP=人 所以A=PP,于是 B=(&E+A}=(&PP+PAP月 = [p(kE+A)pT][p(kE+A)pT] =[p(kE+A)2 p"]

2, 0. 可得A的特征值为1 = 2 = 3 = 记对角矩阵 , 0 0 0 0 2 0 2 0 0            = , , . T 因为A为对称矩阵 故存在正交矩阵P 使P AP =  所以 A = PP T ,于是 ( ) ( ) 2 2 T T B = kE + A = kPP + PP = [ p(kE+Λ) p T ] [ p(kE+Λ) p T ] = [ p(kE+Λ)2 p T ]

(k+2) (k+2)月 由此可得 (k+2)月 (k+2) k2

由此可得 ( ) ( ) 2 2 2 2 P P 2 .   +   = +         T k k k ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .   +    = +         k k k