吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 53-5-6-7 §6 用配方法化二次型为标准形

§6.用配方法化二次型为标准形 例1用配方法化二次型 f=x2+2x3+5x+2xx2+2x水3+6x2x) 成标准形，并求出所用的变换 解.由于f中含有的平方项，故把含有x,的项归为 类，配方得： f=x+x号+x+2xx2+2xx+2xx+x号+4x+4xx) =(x+x2+x3)+x+2x2(2x3)+(2x) =(+x2+x+(x2+2x3

§6. 用配方法化二次型为标准形 解. 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一 类，配方得： 2 2 3 2 1 2 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 2 3 2 2 2 1 ( ) ( 2 ) ( ) 2 (2 ) (2 ) 2 2 2 4 4 x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x = + + + + = + + + + + = + + + + + + + + 2 2 2 1 2 3 1 1 3 2 2 5 2 2 6 例 用配方法化二次型 成标准形，并求出所用的变换 2 3 . f=x + x + x + x x + x x + x x . 1

y1=X1+X2+X3 y2= x2+2x3 y3= X3 x1=y1-y2+y3 即 X2= y2-2y3 X3= Y3 所用的线性变换为 e创 则该变换把f化成标准形 f=+吃

     = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令      = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y 即 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 1 1 1 0 1 2 0 0 1 .       −       = −             = + 所用的线性变换为 则该变换把 化成标准形 x y x y x y f f y y

例2用配方法化二次型 f=2xx2 +2xx;-6x2x3 成标准形，并求出所用的变换 解.在中不含有平方项，由于含有x,x,的乘积 项，故令 x1=y1+y2 x2=1y1-3 X3三 Y3 代入可得 f=2y2-2y3-4yy3+8y2y =27-4y+2y-2+82y-8y+6 =2(y-为)-20%2-23)}+6

代入可得 1 2 1 3 2 3 2 = + − 2 2 6 . f x x x x x x 例 用配方法化二次型 成标准形，并求出所用的变换. . ,  = +   = −   = 解在 中不含有平方项，由于含有 的乘积 项，故令 f x x x y y x y y x y 1 2 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 2 3 3 2 2 4 8 2 4 2 2 8 8 6 2( ) 2( 2 ) 6 = − − + = − + − + − + = − − − + f y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

y 令 三 31+ 即 y2 22十 993545 三 二 X2 1 和 y2 25

                    =                               = −           3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 z z z y y y y y y x x x 和 1 1 3 2 2 3 3 3 2  = +   = +   = 即 y z z y z z y z 1 1 3 2 2 3 3 3 2  = −   = −   = 令 z y y z y y z y

所用的线性变换为 则该变换把f化成标准形 f=2z1-2z号+6

1 1 2 2 3 3 1 2 3 222 1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 3 1 1 1 0 0 1 2 2 6 .                 = −                 = − −         = − + 所用的线性变换为 则该变换把 化成标准形 x z x z x z z z z f f z z z