吉林大学：《计算方法》课程电子教案（PPT课件）第三章 数值积分 3.1 数值积分法的三个基本问题

第一节数值积分法的三个基本问题 数值积分的必要性 二、 数值积分法的三个基本问题

第一节 数值积分法的三个基本问题 一、 数值积分的必要性 二、 数值积分法的三个基本问题

数值积分的必要性 计算定积分1(f)=∫”f(x) (1.1) 的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单，只 要把f(x)的原函数F(x)求出来，就可以求得积分 (1.1)的值，即 I(f)=F(b)-F(a) 但是，实际情况要复杂得多。其原因如下：

一、 数值积分的必要性 的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单,只 要把 的原函数 求出来， 就可以求得积分 （1.1）的值，即 但是，实际情况要复杂得多。其原因如下： f x( ) F x( )I f F b F a ( ) ( ) ( ) = − ( ) ( ) b a I f f x dx = 计算定积分  (1.1)

1.有时函数f(x)的原函数无法用初等函数给出. 例如，在运用解析法分析抽水试验资料的过程中， 几乎所有含水层解析解的表达式中都包含有下面的 些积分运算： 4= exp(-a)da exp-a-a)da m=1,2 (1.3 1,-x-a-ga (14) l4=∫6exp(-ad (1.5)

1.有时函数 的原函数无法用初等函数给出. 例如，在运用解析法分析抽水试验资料的过程中， 几乎所有含水层解析解的表达式中都包含有下面的 一些积分运算： f x( ) 1 1 exp( ) u I a da a  = −  (1.2) 2 2 2 1 exp( ) 4 u m r I a da a B a  = − −  m =1,2 (1.3) 2 2 3 0 2 exp( ) 4 I a da a   = − −  (1.4) 2 4 0 I a da exp( )  = −  (1.5)

这些积分都不能用初等函数表示，所以不能用解析 法求解。 2、有些积分虽然可以解析地求解，但原函数比 被积函数复杂得多，而且也难于给出最后的数值结 果。 3、在更多的实际问题中，函数关系(x)没有具体 表达式，而只能通过观测数据给出，因此在这种情 况下更无法采用解析法求解

这些积分都不能用初等函数表示，所以不能用解析 法求解。 2、有些积分虽然可以解析地求解，但原函数比 被积函数复杂得多，而且也难于给出最后的数值结 果。 3、在更多的实际问题中，函数关系 f x( ) 没有具体 表达式，而只能通过观测数据给出，因此在这种情 况下更无法采用解析法求解

因此，采用数值方法来计算定积分的值是非常 必要的。 用数值方法计算定积分的基本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数。 二、数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程中，需要讨论如下三个 基本问题

二、 数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程中，需要讨论如下三个 基本问题 因此，采用数值方法来计算定积分的值是非常 必要的 。 用数值方法计算定积分的基本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数

1、求积公式的构造 所谓数值积分法，就是用被积函数/(x)在积分区间 [a,b]上的若干个节点x(k=0,ln)处的函数值的某种线性 组合 1=之Af(xx) (1.6) 作为定积分(1.1)的近似值，其中4叫做求积系数 它仅仅与结点x有关，而与/(x)的具体形式无关。 构造形如(1.6)的求积公式有许多种方法，其中 最直接实用的方法，是用f(x)的插值多项式P(x)替代f(x), 把pn(x)在「a,b]上的积分

0 ( ) n n k k k I A f x = = (1.6) f x( ) 作为定积分（1.1）的近似值，其中 叫做求积系数 它 仅 仅 与 结点 有关，而与 的具体形式无关。 Ak k x ( 0,1 ) k x k n = 所谓数值积分法，就是用被积函数 f x( ) 在积分区间 a b,  上的若干个节点 处的函数值的某种线性 组合 ( ) 插值多项式 P x n f x( ) 构 造形如（1.6）的求 积公式有许多种方法 ，其 中 最直接实用的方法，是用 f x( ) 的 替代 ， 把 p x n ( ) 在 a b,  上的积分 1 、求积公式的构造

.=Pxd=.网)-x,）07) 作为积分(1.1)的近似值，其中 4=1(x)k (1.8) 这样得到的求积公式(1.8)，叫做插值型求积公式

0 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) k n n b b n k k K a a k k I P x dx l x dx f x A f x = = = = =     (1.7) 作为积分（1.1）的近似值，其中 ( ) b k k a A l x dx =  (1.8) 这样得到的求积公式（1.8）,叫做插值型求积公式

2、求积公式的余项 称 R)=1-1.=wk-Af. 为求积公式(1.1)的余项或误差。 插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数f(x)在(a,b)上具有n+l 阶连续导数，则求积公式(1.7)的余项为 Ra+nr(6na 5∈[a,b] (1.9)

0 ( ) ( ) ( ) n b n n k k a k R f I I f x dx A f x = = − = −   称 为求积公式（1.1）的余项或误差。 插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数 f x( ) 在 ( , ) a b 上具有 n +1 阶连续导数，则求积公式（1.7）的余项为  a b,  (1.9) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( 1)! b n n n a R f f x dx n   + = + +  2、求积公式的余项

其中 @()=I(x-x) k=0 3.求积公式的代数精确度 如果某个求积公式，对于比较多的函数能够准确成 立，那么这个公式就有比较大的使用价值。代数精度概 念，可以在一定程度上表明求积分公式在这方面的优劣 程度

其中 1 0 ( ) ( ). n n k k  x x x + = = −  如果某个求积公式，对于比较多的函数能够准确成 程度。 念，可以在一定程度上表明求积分公式在这方面的优劣 立，那么这个公式就有比较大的使用价值。代数精度概 3．求积公式的代数精确度

定义1若求积公式 w=∑4f) (1.10) 对一切不高于m次的多项式都能准确成立，并且总存在 m+1 次的多项式不具有这种性质，则称求积公式 (1.10)具有m次代数精度

定义 1 若求积公式 0 ( ) ( ) n b k k a k f x dx A f x =    (1.10) 对一切不高于 m 次的多项式都能准确成立，并且总存在 m +1 次的多项式不具有这种性质，则称求积公式 （1.10）具有 m 次代数精度