吉林大学：《计算方法》课程电子教案（PPT课件）第八章 常微分方程初值问题的数值解法 8.1 问题的提出

第一节问题的提出 在许多科学技术中，常常需要求解常微分方程 的定解问题，这类问题中最简单的数学形式是求函 数满足一阶方程的初值问题 [y'=f(x,y) [y(xo)=Yo 我们假定(x,满足解的存在唯一性定理条件， 即要求f(x,y)适当光滑一譬如关y满足Lipschitz条件 f(x,y)-f(x,2)≤Ly-y2

在许多科学技术中，常常需要求解常微分方程 的定解问题，这类问题中最简单的数学形式是求函 数满足一阶方程的初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y   =   = 1 2 1 2 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) −  − 我们假定 满足解的存在唯一性定理条件， 即要求 适当光滑—譬如关 满足 条件 f x y ( , ) f x y ( , ) y Lipschitz 第一节 问题的提出

其中L称为李氏常数，从而保证上面的初值 问题的解y=y(x)存在并且唯一。 实际问题中遇到的微分方程通常很复杂， 我数情况下列法求出解的解散析表达式，即使 求出解，出常常由于计算量太大而不实用。然 而实际问题本身又往往只要求给出其解在一系 列点上的近似值，这就要依靠数值解法。 所谓数值解法，就是对于解y(x)存在的区 间上一系列的点x，不妨假定

实际问题中遇到的微分方程通常很复杂， 我数情况下列法求出解的解散析表达式，即使 求出解，出常常由于计算量太大而不实用。然 而实际问题本身又往往只要求给出其解在一系 列点上的近似值，这就要依靠数值解法。 其中 称为李氏常数，从而保证上面的初值 问题的解 y y x = ( ) 存在并且唯一。 L 所谓数值解法，就是对于解 存在的区 间上一系列的点 xn ，不妨假定 y x( )

Xo<x <xXN<... 逐个求出(x)的近似值y,。称为给定的微分方 程初值问题的数值解。相邻两个节点的间距 称为步长。一般我们总假定h,=x,-x。1一般我们总假 定 h,=h即节点间是等距的。 上面给定的初值问题的数值解法有个基本特点， 称作“步进式”，即求解的过程是按照节点的排列 次序一步步地向前推进。描述这类算法，只须 在 y0,y,…,ym 已知的前提下给出计算y+的递推公式

0 1 2 N x x x x    上面给定的初值问题的数值解法有个基本特点， 称作“步进式” ，即求解的过程是按照节点的排列 次序 一 步 步 地 向 前 推 进。描述这类算法 ，只须 在 已知的前提下给出计算 的递推公式。 0 1 , , , n y y y n 1 y + 逐个求出 的近似值 。称 为给定的微分方 程初值问题的数值解 。 相 邻 两 个 节 点 的 间 距 称为步长。一般我们总假定 。一般我们总假 定 ，即节点间是等距的。 ( )n y x n y n y h x x n n n = − −1 h h n =