南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 微分方程 §6.3 一阶线性微分方程

§6.3一阶线性微分方程 主要内容 一阶齐次线性 阶非齐次线性 微分方程 微分方程

§6.3 一阶线性微分方程 主要内容 一阶齐次线性 微分方程 一阶非齐次线性 微分方程

一阶线性微分方程的定义 定义1：形如 +P代y-的方程叫徽一阶线性微分方程其中 P(x),Q(x) 只含未知函数的 未知函数是一次 为已知函数 一阶导数且系数 的 为1 Q(x)≠0 Q(x)=0 称为非齐次 d+P(x)y=Q(x) 称为齐次 线性方程 d 线性方程 已知函数 已知函数 方程 +Px)y=0叫做对应于非齐次线性方程 dx +P(x)y=Qx)的齐次线性方程

定义 1：形如 P(x)y Q(x) dx dy   的方程叫做一阶线性微分方程其中 P(x)y Q(x) dx dy   已知函数 已知函数 未知函数是一次 的 只含未知函数的 一阶导数且系数 为1 称为齐次 线性方程 方程 P(x)y0 dx dy 叫做对应于非齐次线性方程 P(x)y Q(x) dx dy   的齐次线性方程 一、一阶线性微分方程的定义 Q x( ) 0  称为非齐次 线性方程 Q x( ) 0  P x Q x ( ), ( ) 为已知函数

一阶线性微分方程的定义 课堂训练1：判断正误：下列错误的是 d d +P(x)y=Q(x) (1) 少-y=1是一阶线性微分方程. d (2) y少-ry=simx是一阶线性微分方程， dx (3) 少-2少=0是一阶齐次线性微分方程。 dx x+1 (4) 少-2义=(：+1)是一阶非齐次线性微分方程 dx x+1

课堂训练 1：判断正误：下列错误的是 (1) 1 2  y  dx dy 是一阶线性微分方程 (2) 2 sin dy y x y x dx   是一阶线性微分方程 P(x)y Q(x) dx dy   一、一阶线性微分方程的定义 （3） 2 0 1 dy y dx x    是一阶齐次线性微分方程 (4)   5 2 2 1 1 dy y x dx x     是一阶非齐次线性微分方程

、一阶非线性微分方程的解法一常数变易法 +Py=0(1)的解法 (2)的解法 dx +Pwy=O(x d 第一步分离变量 第四步设通解 dy y=ux)e --P(x)dx y 第五步代入求出u(x) 第二步两边积分 u(x)=Q(x)e Inly-∫P(x)+C 第六步代入求出u(x) x)=∫Ox)er dx+C 第三步求出通解 第七步代入求出y y=CePx(C=±eS) y-SO(

P(x)y0 dx dy （1）的解法 ( ) ( ) dy P x y Q x dx   （2）的解法 二、一阶非线性微分方程的解法—常数变易法 P x dx y dy  ( ) 第一步分离变量 第二步两边积分 1 ln| y| P(x)dxC  第三步求出通解 ( ) 1 P(x)dx C y Ce Ce    ( ) ( ) P x dx y u x e    第四步设通解 第五步代入求出 u x ( ) ( ) ( ) ( ) P x dx u x Q x e   第六步代入求出 u x( ) u x Q x e dx C P x dx     ( ) ( ) ( ) 第七步代入求出 y ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y Q x e dx C e            

二、一阶非线性微分方程的解法一常数变易法 例求方程 少 2y=(+)2的通解 dx x+1 y=u(x+1)2 dy 2y 解： 先求x+1 0的通解。 (5)把y代入所给非齐次线性方程，得 2'=(x+1)2 (1) dy2dx 分离变量得yx+1 (6)两边积分，得 (2)积分得lny=2lnx+1+C 3 u= 3(x+1)2+C (3)即齐次线性方程的通解为 (7)将山代入得方程的通解为 y=C(x+1)2 2 (4)常数变易：把C换成u, y=x+3+C(+I

二、一阶非线性微分方程的解法—常数变易法 例 求方程 2 5 ( 1) 1 2     x x y dx dy 的通解 解： 先求 0 1 2    x y dx dy 的通解 （1）分离变量得 1 2   x dx y dy （2）积分得 1 ln 2ln 1 y x C    （3）即齐次线性方程的通解为   2 y C x  1 （4）常数变易：把C 换成u    2 y u x  1 （5）把 y 代入所给非齐次线性方程 得 1 2 u x    ( 1) （6）两边积分，得 3 2 2 ( 1) 3 u x C    （7）将u 代入得方程的通解为 7 2 2 2 ( 1) ( 1) 3 y x C x    