南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 向量代数与空间解析几何 §7.6 旋转曲面和二次曲面

§7.6旋转曲面和二次曲面 概念 旋转曲 主要 二次曲面 面的方程 内容 及其方程 OoOD⊙8 机动 目录 返问 结

机动 目录 上页 下页 返回 结束 §7.6 旋转曲面和二次曲面 主要 内容 概念 旋转曲 面的方程 二次曲面 及其方程

一、 旋转曲面 HAND 在空间，一条曲线绕着定直线 旋转曲面的轴 旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面

一、 旋转曲面 在空间，一条曲线绕着定直线 旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面 旋转曲面的轴

旋转曲面

一、 旋转曲面

问题：如何求在Oz面上有一已知曲线C:fy,)=0 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程 M(0,,31) (I)设M(0,,二)为曲线C上任一点，则 fy,2)=0 () (川)当曲线C绕z轴旋转时，点M也绕z轴转到另一点M(x,y,z).此时点 M与M在垂直于z轴的圆上，因此保持竖坐标不变且到z轴的距离相等即 z=21 (2) x2+y-yl (3) (川)消去y1,21,得到旋转曲面的方程 t+y,0

问题：如何求在 yOz 面上有一已知曲线C: f (y,z)  0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程 M 1 1 1 M y z (0, , ) C x o z y (Ⅰ)设 (0, , ) 1 1 1 M y z 为曲线C 上任一点，则 1 1 f y z ( , ) 0  (1) (Ⅱ)当曲线C 绕 z 轴旋转时，点M1 也绕 z 轴转到另一点M x y z ( , , ) .此时点 M1 与 M 在垂直于 z 轴的圆上，因此保持竖坐标不变且到 z 轴的距离相等.即 1 z z  (2) | | 1 2 2 x  y  y （3） (Ⅲ)消去 1 1 y ,z ,得到旋转曲面的方程  ,  0 2 2 f  x  y z 

旋转曲面 注记1：0z面上曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周的所得旋转曲面方 t+y,0 规律：求yoz面上曲线C:fy,z)=0绕z轴旋转一周的所得旋转曲面方 程时，我们只需将y0z面上曲线C的方程fy,z)=0 (1)保留与旋转轴同名的坐标 (2)用其它两坐标（相对保留坐标）平方和的平方根 代替方程中另一个变量 注记2yOz面上曲线C:fy,z)=0绕y轴旋转的曲面方程为 fy,±Vx2+z2)=0

注记 1： yoz面上曲线C f y z : ( , ) 0  绕 z 轴旋转一周的所得旋转曲面方 一、 旋转曲面  ,  0 2 2 f  x  y z  规律：求 yoz面上曲线C f y z : ( , ) 0  绕 z 轴旋转一周的所得旋转曲面方 程时，我们只需将 yoz 面上曲线C 的方程 f (y,z)  0 （1）保留与旋转轴同名的坐标 （2）用其它两坐标（相对保留坐标）平方和的平方根 代替方程中另一个变量 注记 2 yOz 面上曲线C f y z : ( , ) 0  绕 y 轴旋转的曲面方程为 2 2 f y x z ( , ) 0   

旋转曲面 例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面， 两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 叫圆锥面的 半顶角.试建立顶点在坐原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程 解显然该问题是求yoz面上的直线Lz=ycot a绕z轴旋转一周的 所产生的旋转曲面的方程。 M1(0,y1,z1) (1)将方程z=ycota中的z保留 (2)用±Vx2+y2代替方程：z=ycota中的y即可 M(x,y,=) 从而得到圆锥面方程z=±√x2+y2coto

例 1 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面． 两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角         2 0    叫圆锥面的 半顶角．试建立顶点在坐原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程． x o z y (0, , ) 1 1 1  M y z M(x, y,z) o x z y  一、 旋转曲面 解 显然该问题是求 yoz 面上的直线 L z  y cot 绕 z 轴旋转一周的 所产生的旋转曲面的方程. （2）用 2 2  x  y 代替方程:z  y cot 中的 y 即可 cot 2 2 从而得到圆锥面方程 z   x  y （1）将方程 z  y cot 中的 z 保留

旋转曲面 例2将0r面上的双曲线兰-三-1分别绕：轴和x轴 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 解：（1)绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程 称为旋转单叶双曲面 (2)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的方程 称为旋转双叶双曲面

x z o a 例 2 将 zox 面上的双曲线 1 2 2 2 2   c z a x 分别绕 z 轴和 x 轴 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 一、 旋转曲面 解：（1）绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a c    （2）绕 x轴旋转一周所得旋转曲面的方程 2 2 2 2 2 2 1 x y z a c c    称为旋转单叶双曲面 称为旋转双叶双曲面

旋转曲面

a x z o y . 一、 旋转曲面

课堂训练 2 (1)椭圆云+。 = 绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 x=0 称为旋转椭球面 b2 (2)椭圆 +。=绕y轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 x=0 x2 称为旋转椭球面 +6+e= (3)抛物线 少=2p严绕：轴旋转所得的曲面方程为 x=0 x2+y2=2pz 称为旋转抛物面

课堂训练 （1）椭圆 2 2 2 2 1 0 y z b c x         绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 (2) 椭圆 2 2 2 2 1 0 y z b c x         绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 称为旋转椭球面 称为旋转椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z b b c    2 2 2 2 2 2 1 x y z c b c    （3）抛物线      0 2 2 x y pz 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为 x y 2pz 2 2   称为旋转抛物面

二、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面（截痕法） x2y2 (1)椭圆锥面： a7+ (2)椭球面： a+6+ 与z=h(h<c)的交线为椭圆 与z=2(<c)的交线为椭圆 与x=x1(x<a)的交线为椭圆 与y=y(x<b)的交线为椭圆

（1）椭圆锥面： 2 2 2 2 2 x y z a b   二、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面（截痕法） （2）椭球面： 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    o x y z 与 ( ) 1 1 z  z z  c 的交线为椭圆 与 ( ) x  x1 x1  a 的交线为椭圆 与 ( ) y  y1 x1  b 的交线为椭圆 与 z h h c   ( ) 的交线为椭圆