吉林大学：《计算方法》课程电子教案（PPT课件）第一章 插值方法 1.5 样条函数插值

第五节 样条函数插值 一、样条函数的概念 二、三次样条函数插值 三、小结

第五节 样条函数插值 三、小结 一、样条函数的概念 二、三次样条函数插值

一、样条函数的概念 样条是绘图员用来画光滑曲线的一种细木条（或细金属 条)。用它可把一些指定点连成一条光滑曲线。样条函 数是对绘图员描绘的样条曲线进行数学模拟后，得出的 函数。 其特征为 (1)是分段多项式； (2)各段多项式之间具有某种联接性质

一、样条函数的概念 样条是绘图员用来画光滑曲线的一种细木条（或细金属 条）。用它可把一些指定点连成一条光滑曲线。样条函 数是对绘图员描绘的样条曲线进行数学模拟后，得出的 函数。 （1）是分段多项式； （2）各段多项式之间具有某种联接性质。 其特征为

数学描述： 设在[a,b]上给定一个分划： π：a=X0<x<…<xn∈b 若函数S(x)具有如下性质： (1)S(x)在每个小区间[x-,x](k=1,2,,n)上是m次多项式： (2)S(x)及其直到m-1阶导数在[a,b]上连续，则称S(x 是关于分划π的m次样条函数，也记为S.（x)。 若S(x)还满足条件 SP(a+)=SP(b-0),p=0,1,…,m-1 则S(x)称为以(b-a)为周期的样条函数。 本节仅限于使用三次样条函数

设在 a b,  上给定一个分划： 数学描述： 0 1 : n  a x x x b =    = 若函数 S x( ) 具有如下性质： （1） S x( ) 在每个小区间 x x k n k k −1 , 1,2, , ( = ) 上是m次多 项式； （2） 及其直到 阶导数在 上连续，则称 是关于分划 的 次样条函数，也记为 。 S x( ) m −1 a b,  S x( )  m S x m ( ) 若 S x( ) 还满足条件 ( ) ( ) ( ) ( 0 , 0,1, , 1. ) p p S a S b p m + = − = − 则 S x( ) 称为以 (b a − ) 为周期的样条函数。 本节仅限于使用三次样条函数

二、三次样条函数插值 1、问题的提法 设y=f(x)在点xx,,xn的值为，，， 求关于分划π的三次样条函数S(x,使之满足 S(x)=y,i=01,n(5.1 此时称S(x)为y=f(x)的三次样条插值函数。 可以看出，这一插值问题既保留了低次多项式在 表达式上的简便性，又克服了它们的不灵活性、不稳 定等缺点。因此，适合于数值运算的需要

1、 问题的提法 设 在点 的值为 ， 求关于分划 的三次样条函数 ，使之满足 y f x = ( ) 0 1 , , , n x x x 0 1 , , , n y y y  S x( ) 二、三次样条函数插值 此时称 S x( ) 为 y f x = ( ) 的三次样条插值函数。 可以看出，这一插值问题既保留了低次多项式在 表达式上的简便性，又克服了它们的不灵活性、不稳 定等缺点。因此，适合于数值运算的需要。 S(x ) y i n i = i , = 0,1,  (5.1)

2、三次样条插值函数的构造 (1)、从二阶导数出发构造S(x) 由于S(x)在[x-x]上为线性函数，于是由一次 Lagrange插值多项式有 S()=-S(x)+=LS(x) Xk-1-Xk Xk-Xk-1 S"(-)=M-1S"()=Mih=x-x 则有 S6)=-M+M,62

2、三次样条插值函数的构造 (1)、从二阶导数出发构造 S x( ) 由于 在 上为线性函数，于是由一次 Lagrange插值多项式有 S x ( ) x x k k −1 ,  ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k k k k k k k k x x x x S x S x S x x x x x − − − − − −    = + − − 令 ( ) ( ) 1 1 , 1, , k k k k k k k S x M S x M h x x − − −   = = = − 则有 ( ) k k k k k k M h x x M h x x S x 1 1 ' − − − + − = (5.2)

显然，为求出S(x在[xx]上的表达式，只需对(52) 式积分两次，就可得到 6h, +C.(:-x)+D.(x-x)xE 依倨插值条件（⑤.1）可定出C.与D分别为 于是有

显然，为求出 在 上的表达式，只需对 式积分两次，就可得到 S x( ) x x k k −1 ,  (5.2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1, 6 6 , k k k k k k k k k k k k x x x x S x M M h h C x x D x x x x x − − − − − − = + + + − + −     依倨插值条件 (5.1)可定出 Ck 与 Dk 分别为 2 1 1 2 1 6 1 6 k k k k k k k k k k M h C y h M h D y h − −   = −       = −     于是有

s-以， 6h, 6h -g X-Xi-1 (5.3) 其中，Mo,M…Mn为待定参数，可由样条节点处的光滑 连接条件 S(k-)=S(x+k=1,2…,n-1）6.) 所确定。由53)可知，S(x)的导数为 s因-M+M.-& 2hk +二L-M,-Mh x∈[x-x] h 6

其中， 为待定参数，可由样条节点处的光滑 连接条件 0 1 , , M M M n ( ) ( ) ( )   2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 , 6 k k k k k k k k k k k k k k x x x x S x M M h h y y M M h x x x h − − − − − − − −  = − + − − + −  ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i i i i h M h x x y h M h x x y h x x M h x x S x M 1 2 2 1 1 3 1 3 1 6 6 6 6 − − − − − −         + − −         + − + − + − = (5.3) S'(xk− ) = S'(xk+ ),(k =1,2 ,n −1) (5.4) 所确定。由 (5.3) 可知， S x( ) 的导数为

分别令x=xx,得 ,+M+ h 5.5) 3 -M,+ (5.6 h 据(5.6)有 6.7 3 6 于是由连接条件(5.4)可得 h Mm =y-yy-y h (5.8 (k=0,1…n-

分别令 x x x = k k −1 , , 得 据 (5.6)有 于是由连接条件(5.4)可得 ( ) i i i i i i i i h y y M h M h S x 1 1 6 3 ' − − − − = + + (5.5) (5.6) ( ) i i i i i i i i h y y M h M h S x 1 1 1 3 6 ' − − + − − = − − + (5.7) ( ) 1 1 1 1 1 3 6 ' + + + + + + − = − − + i i i i i i i i h y y M h M h S x (5.8) 1 1 1 1 6 3 6 + + + − + + + i i i i i i i M h M h h M h i i i i i i h y y h y y 1 1 1 − + + − − − = (k = 0,1, n −1)

若记 h一，4，=1- h hett 则（⑤.8）式成为 4,M,-1+2M,+2,M1=d,i=1,2,…n-15.9 这是一个具有n+1个未知数n-1个方程的线性代数方程组。 为了求出n+1个未知参数M。,M,,Mn,还需要添加两个条件 ,通常称这两个条件为边界条件。一般来说，此类边界条件 包括两种： a固定边界条件 假定端点的切线斜率为已知： S(a)=%, S'(b)=y

若记 1 1 , 1 k k k k k k h h h    + + = = − + 则 (5.8)式成为 这是一个具有 个未知数 个方程的线性代数方程组。 为了求出 个未知参数 还需要添加两个条件 ，通常称这两个条件为边界条件。一般来说，此类边界条件 包括两种： n +1 n −1 n +1 0 1 , , , , M M M n a 固定边界条件 假定端点的切线斜率为已知： ( ) 0 , ( ) n S a y S b y     = = 2 1,2, 1 (5.9) i Mi−1 + Mi + i Mi+1 = di, i = n −

由(5.5)，(5.)，这时对(5.9)增加了两个方程 2,+4- 6 若记 么=么d-8号-月 x-） 则有 2M+M1=d0 (5.10 L Mn=1+2M,dn

由(5.5 , 5.7 ) ( )， 这时对 (5.9)增加了两个方程 1 0 0 1 0 1 1 1 1 6 2 6 2 n n n n n n n y y M M y h h y y M M y h h − −   − + = −        − + = −     若记 1 0 0 0 0 1 1 6 1, 6 n n n n n n n n y y d y h h y y d y h h   −   − = = = −        − = −     则有 (5.10)    + = + = n n− n n M M d M M d 2 2 1 0 0 1 0  