吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 10-1-习题课

●例9： 2 2 X 第n-1行(-1)倍加到第n行上，第(n-2) 行(-1)倍加到第n-1行上，以此类推， 直到第1行(-1)倍加到第2行上

例9： 3 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 1 n n x n D x x n xxx xxx − − = − ⚫ 第n-1行（-1）倍加到第n行上，第（n-2） 行（-1）倍加到第n-1行上，以此类推， 直到第1行（-1）倍加到第2行上

1 2 3 4 0 0 x-1 : 0 -1 -1 -1 -X 0 0 0 x-1 -1 -1 X- - 0 0 0 x-1-1 x-1 -x 0 0 x-1 按第一列展开

3 1 2 3 4 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 n x D x x − − − − − − − − = − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x − − − − − − − − − − − − − 按第一列展开 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 x x x x x x − − − − − − −

1)-1x-2 ● 有时直接采用性质和展开定理计算 不方便可采用技巧便于计算

有时直接采用性质和展开定理计算 不方便 可采用技巧便于计算。 1 2 ( 1)n n x − − −

●例10： 加边法) 1+d2 第、行(-1)倍 加到各行上去 1+a 1 0 1+a 0 0 1+a2 1 : 0

例10：（加边法） 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n a a D a + + = + 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 n a a a + = + + 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 n a a a − − − 第一行（-1）倍 加到各行上去

第2列、第3列--第n列， 依次乘 ar az An 后加到第1列上去。 ,111 1+ a 0 0 0 an = aa…a(1+1〉 1

后加到第1列上去。 第2列、第3列 - - - 第n列， 依次乘 1 2 1 1 1 , a a an 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n n a a a a a a + + = 1 2 1 1 (1 ) n n i i a a a = a = +

例11：证明 a+B + a-B D 0 &-B 1a+

例11：证明 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n Dn               + + + + − = = + − +

●证： 当n=1时 D=a+B= 2- 结论成立 a-B 当n=2时， a+B aB D =(C+B)2-c3=a2+cB+B a+B a-B 结论成立 a-B 假设当nsk时结论成立，证n=k+1时亦成立

证：当n=1时， 2 2 D1       − = + = − 结论成立. 当n=2时， 2 2 2 2 ( ) 1 D            + = = + − = + + + 3 3     − = − 结论成立. 假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时亦成立

a+B + B 0 0 按第一列展开 1 a+B aB 0 (a+)D 0 a+B : 按第一行展开 a+B (a+B)D-aBD

1 0 1 0 0 1 0 1 Dk            + + + = + + 0 1 0 ( ) 0 1 0 Dk           + + − + + 按第一列展开 按第一行展开 1 ( )    + − D D k k−

(a+B)(a-B)-aB(a -B) Q-B a+Ba-aBk-B2-aB+ a-B ak12-Bk a-B 所以当n=k+1时结论成立，由此证得： a+B 0β 0 0 a+5 aB D Q-B

1 1 ( )( ) ( ) k k k k          + + + − − − − k k k k k k 2 1 1 2 1 1          + + + + + + + − − − + − k k 2 2     + + − − 所以当n=k+1时结论成立，由此证得： 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n Dn             + + + + − = = − +

●例12：求解方程组 2x1-X2+3x3=1 4x1+2x2+5x3=4 2x1+2x3=6 解：因为系数行列式 2-13 D= 425 =8-10-12+8=-6 202 所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解 -1 3 D 4 2 5 三 4-30-36+8=-54 6 0 2

例12：求解方程组 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 4 2 5 4 2 2 6 x x x x x x x x  − + =   + + =   + = 解：因为系数行列式 2 1 3 4 2 5 8 10 12 8 6 2 0 2 D − = = − − + = − 所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解 1 1 1 3 4 2 5 4 30 36 8 54 6 0 2 D − = = − − + = −