清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 傅里叶变换 §3.7 傅立叶变换的基本性质

§37傅立叶变换的基本性质 对称性和叠加性 奇偶虚实性 尺度变换特性 时移特性和频移特性 微分和积分特性 卷积定理 Parseval定理

1 §3.7 傅立叶变换的基本性质 • 对称性和叠加性 • 奇偶虚实性 • 尺度变换特性 • 时移特性和频移特性 • 微分和积分特性 • 卷积定理 • Paseval定理

、对称性 若已知F(a)=FT[() FT|F()=2f(-o) 证明 f(t)= F(0)e JOt 2兀 f∫(-)= F(oe o do f(m)=、1 ∫F(t)eat FT[F()=2/(-a) 2

2 一、对称性 • 若已知 • 则   − =     f t F e d j t ( ) 2 1 ( ) ( ) , 2 1 ( )   − − − =     f t F e d j t − =   − − f F t e dt j t   ( ) 2 1 ( ) FTF(t)= 2f (−) 证明： F() = FTf (t) FTF(t)= 2 f (−)

F() 2 f(t) F(O 2 2ZT 2丌 2

3 f ( t ) F (  )  2 2  2 −  2 − f (t) F() c 2 c 2 − 2c 2c − tt   1   2 c 1 0 0 0 0

若ft为偶函数,则时域和频域完全对称 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子 F() F() 27o()

4 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子 2()  (t) 1 1 1 f (t) F() F()   t t

a>1.t>0 f(t)=e at FT F() a+y@ f换成t F换 成 Fo)=F a+ t t换成 对称性 F()=2mf(-)=2me+o

5 at f t e − ( ) = FT   a j F + = 1 ( ) ? 1 ( ) 1 =  + = a jt F  FT 对称性      a F f e + 1 ( ) = 2 ( − ) = 2 t 换成 a  1 , t  0  f 换成F1 换成 t F1 

二、线性(叠加性) 若则 FTIf(t=F(o) F2af()=∑aF()

6 二、线性（叠加性） 若 则  ( ) () i Fi FT f t =   = = =      n i i i n i FT ai f i t a F 1 1 ( ) ()

求:f(1)的傅立叶变换 f()=[v(t+2)-(-2)+[v(t+r)-(-) F()=[Sa(z/2)+2Sa(z) 2丌

7 求： f (t) 的傅立叶变换 f (t) 2  2 − −  1 2 t ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2     f t = u t + −u t − + u t + −u t − F() =[Sa( / 2) + 2Sa( )]  2 

、奇偶虚实性 无论ft是实函数还是复函数,下面两式均 成立 时域反摺 频域也反摺 FTLf(t]=F(o FTf(-)]=F(-) FTLf(D=F(o) 时域共轭 频域共轭 FTr(-)=F() 并且反摺

8 三、 奇偶虚实性 无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均 成立 [ ( )] ( ) * * FT f t = F − [ ( )] ( ) * * FT f −t = F  FT[ f (t)] = F() FT[ f (−t)] = F(−) 时域反摺 频域也反摺 时域共轭 频域共轭 并且反摺

f()是实函数 F(a)=f()coso tdt-j]f()sindt 偶函数 奇函数 R(O X(0) R(O)=R(-o)x(0)=-x(-0)F(-0)=F(o) FTf(-)=F(-) FTf(-)=F() 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数, 而相位谱为奇函数

9 一、f(t)是实函数    −  − F() = f (t)cos tdt − j f (t)sin tdt R() X () R() = R(−) X () = −X (−) ( ) ( ) * F − = F  偶函数 奇函数 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数[ ( )] ( ) [ ( )] ( ) *   FT f t F FT f t F − = − = −

f(t)=jg(t)是虚函数 F(a)=g(t)sin a tdt+j l g(t) cos a tdt 偶函数 奇函数 R(O) X(0) R(O)=-R(-o)x(0)=x(-0)F()=F(o) FTlfGD]=FGo) FTf(-)=F() 虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数 相位谱仍为奇函数

10 二、f(t) = jg(t)是虚函数    −  − F() = g(t)sin tdt + j g(t)cos tdt R() X () R() = −R(−) X () = X (−) ( ) ( ) * F − = F  虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数 相位谱仍为奇函数 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) *   FT f t F FT f t F − = − = − 偶函数 奇函数