清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 Z变换和离散时间系统的Z域分析（8.1-8.6）

第八章、变换和离散时间系统 的域分析 本章要点 Z变换的基本概念和基本性质 利用变换解差分方程 高散系统的系统函数 高散系统的频率响应 数字滤波器

1 第八章、Z变换和离散时间系统 的Z域分析 本章要点 • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器

§8.1Z变换的定义一由拉氏变 换引出变换 有抽样信号x()=∑x(n7)6(=n7) 单边拉氏变换 X()=2x(n7)5(t-m7e"t n=0 ∑ x(nt) 8(t-nT)e dt 0 ∑ x(nt)e snT 2

2 §8.1 Z变换的定义—由拉氏变 换引出Z变换 • 有抽样信号 • 单边拉氏变换   = = − 0 ( ) ( ) ( ) n xs t x nT  t nT snT n s t n s t n s x nT e x nT t nT e dt X s x nT t nT e dt −  =   =   =      = = − = − 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  

令z=e,其中z为一个复变量 X(z)= 乙(m7)zn 广义上讲T=1 ● X(z)=∑x(m)zn 单边Z变换 0

3 • 令 , 其中 z 为一个复变量 • 则 • 广义上讲T=1 sT z = e   = − = 0 ( ) ( ) n n X z x nT z   = − = 0 ( ) ( ) n n X z x n z 单边Z变换

§8.2Z变换的收敛域 X()=∑xm)2m=x0+x0+x(2)+ =0 收敛域:当(m)为有界时,令上述级数收敛的2的 所有可取的值的集合称为收敛域 1)比值判别法 lim n+1 n→) 2)根值判别法 lim n n-p n→00 4

4 §8.2 Z变换的收敛域 =  = + + +  = − 2 0 (1) (2) ( ) ( ) (0) z x z x X z x n z x n n 收敛域：当 为有界时，令上述级数收敛的 的 所有可取的值的集合称为收敛域 1）比值判别法 2) 根值判别法 x(n) z =  + → n n n a a 1 lim 1 1 1 =      =  → n n n lim a

例: r(n=a u(n X(2)=∑a=m=(a)y 0 lim an+1=az z n→>00 laz lim vaz=az=p →00

5 例： x ( n ) a u ( n ) n =  = − = − = = 0 1 0 ( ) ( ) n n n n n X z a z az = =  + − →  1 1 lim az aa nn n a z a z a z = = =  − − →  1 1 lim az az n n n

几类序列的收敛域 (1)有限序列:在有限区间内,有非零的有限值的序列x(m) X(2)=∑x(m)n1≤n≤n2 nEny 收敛域为除了0和OO的整个2平面 Rell 6

6 几类序列的收敛域 （1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 1 2 2 1 X (z) x(n)z n n n n n n n =    = − 收敛域为除了0和  的整个 z 平面 Re[z] j Im[z] x(n)

(1)右边序列:只在n≥n1区间内,有非零的有限值的序列x() X(=)=∑x(m)=nn1≤n≤∞ n=n1 圆外为 收敛域 imx(n)2- R Re[-] 收敛半径

7 （1）右边序列：只在 n  n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n) =      = − X z x n z n n n n n 1 1 ( ) ( ) 1 1 lim ( ) lim ( ) 1 x x n n n n n z R x n R z x n z  =   → − → 收敛半径 圆外为 收敛域 1 Rx Re[z] j Im[z]

(1)左边序列:只在n≤m2区间内,有非零的有限值的序列x(m) X(x)=>x(m) o0n≤n2 圆内为收敛域 若n2>0 =-n n-n 则不包括z=0点 X()=∑x(-m)=m=∑x(-n)= m=-n2 =-n imw/x(-n)21<1 R n→)0 ma(-m)-< e R x(-1 收敛半径 n→00 8

8 （1）左边序列：只在 n  n2 区间内，有非零的有限值的序列 x(n) 2 2 X(z) x(n)z n n n n n =  −   =− −    =−  = =− =− = − = − 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n m m n m m n X z x m z x n z 2 lim ( ) 1 lim ( ) lim ( ) 1 1 x n n n n n n n R x n z x n z x n z = −  −  −  → − → → 收敛半径 圆内为收敛域， 若 则不包括z=0点 n2  0 2 Rx j Im[z] Re[z]

(1)双边序列:只在-∞≤nR 圆内收敛 圆外收敛 R.>R有环状收敛域 Re[z] R<R 没有收敛域 x

9 （1）双边序列：只在 区间内， 有非零的有限值的序列 −   n   x(n) =  −      =− − X z x n z n n n ( ) ( )    = − − =− − = + 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n n X z x n z x n z 圆内收敛 圆外收敛 2 1 Rx  Rx 2 1 Rx  Rx 有环状收敛域 没有收敛域 2 1 Rx  Rx j Im[z] Re[z]

例: x(n)= u(n 右边序列 3 X()=∑2z2|= 0 jIm=] R 3 R Re[-]

10 例： ( ) 3 1 (1) x(n) u n n       = 右边序列 3 1 3 1 1 1 3 1 ( ) 1 0 1 − = −  =      = −  = −  z z z X z z n n 3 1 1 Rx = 3 1  z  3 1 1 Rx = 3 1 j Im[z] Re[z]