清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 连续系统的傅立叶分析 §6.6 物理可实现性—佩利维纳准则 §6.7可实现的典型滤波函数巴特沃兹逼近（与切比雪夫逼近）

86.6物理可实现性—佩利维 纳准则 (1)时域因果性<0,M)=0 (2)频域 (eo)/e=∞ 有界 能量可积 2 ∫|H(o)|dla<∞ 有限频带内不能为零 1((0≠0

1 §6.6 物理可实现性—佩利维 纳准则 （1） 时域——因果性 （2）频域 有界 能量可积 有限频带内不能为零 t  0, h(t) = 0   +   −    d H j 2 1 ln ( )     − H j d 2 ( ) H( j)  0 限制了衰 减速度

例 C- R v2(th(t) 20 h(t) H()= +jo|+ 2 由实际电路组成从t>=0 2丌 开始,物理可实现 2 h(t)=FT[Hoi 2sin(O21)(t≥0 2 2

2 L C C L ( ) R = 1 v t ( ) 2 v t h(t) = ? 2 2 2 3 2 2 3 3 2 ( )          +      + = c c c c j H j       ) ( 0) 2 3 sin( 3 2 ( ) [ ( )] 1 2 = =  − − h t FT H j e t t c t c c     h(t) c  c 由实际电路组成从t>=0 2 开始，物理可实现 例：

高斯幅频特性是否物理可实现? Hco=e InH(jo e 2 O 1+ 1+ 1+ 1+ do= lim o-tg-lo B g +1 B B lim 2(B-tg B=2 lim B B B 发散的,物 理不可实现

3 高斯幅频特性是否物理可实现？ 2 ( )  H j = e ( )       = − = −  = −      + = + + = + = + → − → − − →  −  −  −  −     2 lim 2( 2 lim lim 1 1 1 1 1 ln( ) 1 ln ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2               B t g B B d t g d d e d H j B B B B B 发散的，物 理不可实现

§6.7可实现的典型滤波函数巴 特沃兹逼近(与切比雪夫逼近) a s+, . H(S)= A(S) B(s b,S"+6-S++b 滤波器特性取决于系数a,b 取决于分母多项式的阶次n n与元器件的数目有关

4 §6.7可实现的典型滤波函数巴 特沃兹逼近(与切比雪夫逼近) 0 1 1 0 1 1 ... ... ( ) ( ) ( ) b s b s b a s a s a B s A s H s n n n n m m m m + + + + + + = = − − − − 滤波器特性取决于系数 a , b 取决于分母多项式的阶次 n n 与元器件的数目有关

巴特沃兹逼近 (Butterworth) 通带内最平坦滤波器 H(Q2) c2=0|H(0)=max=1 1+ Q2=920 H(iS20 HCQ)H(jQ2 c2=∞|H(∞)=0

5 一 、巴特沃兹逼近 (Butterworth) ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 0 2 =  −            +  = H j H j H j n ( ) 0 2 1 ( ) 0 ( 0) max 1 0 0  =   =  =   =  = = = H j H j H j • 通带内最平坦滤波器 2 1 1 0 0 

为什么“巴特沃兹滤波器”最 大平坦—二项式定理 2n H(2)=1+ 4 6n 8n 392 35g 0 128(g 0 在9=0点,它的前2n-1阶导数都为 零,所以说在g=0点附近一段范围内最 6

6 为什么“巴特沃兹滤波器”最 大平坦——二项式定理 ...... 128 35 16 5 8 3 2 1 1 ( ) 1 8 0 6 0 4 0 2 0 1/ 2 2 0 −           +           −           +           = −                    = + − n n n n n H j 在 点， 它的前 阶导数都为 零，所以说在 点附近一段范围内最 平。  = 0 2n−1  = 0

巴特沃兹滤波器的极零点分布 B(s)2= 2n Q 1+ +(-1) 2n +1 n=odd n=even 2kT (2k-1)丌 n 2n n=od k n=even

7 巴特沃兹滤波器的极零点分布 n n j s n s H s 2 0 2 0 2 1 ( 1) 1 1 1 ( )          + − =                         + = = S e n odd n k j k =  =       , 2 2 0  S e n even n k j k =  =       − , 2 (2 1) 0     − = + = =          n even s n odd n 1 1 2 0

丌 n 1+s e k e 取左半平面极点 H()=H(s)H(-s) 给H(s) H(S) H(S B2(s) s-已 )(S-e4) B, (s) 对于n阶 s+V2S 参见P506表6-1

8 0 4 1 1 2, 1 ( ) s n H s + =  = =     4 7 4 5 4 3 4 1 , , , j j j j k S = e e e e ( ) ( ) ( ) 2 H s = H s H −s  4 1 j e  4 3 j e  4 5 j e  4 7 j e 取左半平面极点 给H(s) 2 1 1 ( )( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 4 5 4 3 2 + + = − − = = s s s e s e B s H s j  j  ( ) 1 ( ) B s H s n = 对于n 阶 参见P506表6-1

巴特沃兹低通滤波器的设计 Low Pass Analogical Filter(AF) O a(Q2 a(2n)通带最大衰减 a(2,)阻带最小衰减 Ω2。通带截止频率 0 Q.9 Q aΩ。阻带下限频率 (2)=10lg AX(八2 =10g H(9)2

9 巴特沃兹低通滤波器的设计 • Low Pass Analogical Filter(AF) ( )  p ( )  s p s  0 ( )  p ( )  s p s 通带最大衰减 阻带最小衰减 通带截止频率 阻带下限频率 2 2 2 ( ) 1 10lg ( ) ( ) ( ) 10lg  =    = Y j H j X j  (1)           p or 0 = p

a(_)=10lg =10g(1+K(22 H(C2) 2 2 AK(八2)=10101 2n 2 a(2) =1010-1 1010-1 0 0 x(2n) 10 Ig 30-1 H(Q2) C(92 2 1010-1 H(j2)H(-j2) S

10 ） 2 2 10lg(1 ( ) ( ) 1 ( ) 10lg = +    = K j H j  n K j 2 0 1 0 ( ) 2 ( ) 10 1            = − =   10 1 1 0 2 ( ) 0 = −           p n p  10 1 10 ( ) 2 0 = −           s n s  n = ?           − − =   s p s p n lg 10 1 10 1 lg 10 ( ) 10 ( )   ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 0 2 =  −            +  = H j H j H j n