《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 线性微分方程组（5.4）几乎线性系统解的稳定性习题解答

§54几乎线性系统解的稳定性 541平面几乎线性系统和稳定性 542高维几乎线性微分方程组的稳定性 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 §5.4 几乎线性系统解的稳定性 5.4.1 平面几乎线性系统和稳定性 5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性

1稳定性的概念 主要研究系统处值变化不大时的解在无限区间 t0,+∞上的变化情况,变化不大,称为系统是稳 定的,变化大,不稳定。 在实际中,是有很重要的意义的 比如说火箭的发射,“差之毫厘,谬以千里”。 Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 1 稳定性的概念 主要研究系统处值变化不大时的解在无限区间 0 t ,+ 上的变化情况，变化不大，称为系统是稳 定的，变化大，不稳定。 在实际中，是有很重要的意义的。 比如说火箭的发射 ，“差之毫厘，谬以千里

稳定性的研究工作,贡献最大的是李雅普诺 夫。他创立了两种方法,第一方法,第二方法, 后者又称为直接法。 d x 2数学上的定义方程组=F(t1x)满足 x(0)=x0的解。 VE>O日δ>0(C一般与和to有关 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 稳定性的研究工作，贡献最大的是 李雅普诺 夫 。他创立了两种方法，第一方法，第二方法， 后者又称为直接法。 2 数学上的定义 方程组 ( , ) 满足 dx F t x dt = 0 0 x t x ( ) = 的解。       0 0 (  一般与  和 t 0 有关)

Yx()=x满足1x0, 当|x<时, 满足初始条件x(t0)=x0的解均有: Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 0 0  = x t x ( ) 0 满足 x  时,有 x t( )   ， 对  t t0 则称为方程组的重解 x = 0 为稳定的， 否则称为是不稳定的。 若重解 x = 0 稳定，且    0 0 ， 当 x0 0  时, 满足初始条件 x t x ( )0 0 = 的解均有：

im|x()=0 t-)+∞ 则称重解为渐近稳定的。 如果解x=0是渐近稳定的,一切彐区域D, 只要 V(x1,x2)=x2+2xx2+x2=(x1+x2)2 就有: inx(,,x)=0 t→>+∞ Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 lim ( ) 0 t x t →+ = 则称重解为渐近稳定的。 如果解 x = 0 是渐近稳定的 ，一切  区域 D , 只要 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 V x x x x x x x x ( , ) 2 ( ) = + + = + 就有： 0 0 lim ( , , ) 0 t x t t x →+ =

则称区域D为解x=0的渐近稳定域或吸收域 若渐近稳定域是全空间的,则称解为全局渐近 全局渐近稳定的。 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 则称区域 D 为解 x = 0 的渐近稳定域或吸收域。 若渐近稳定域是全空间的,则称解为全局渐近 全局渐近稳定的

3稳定性的判断(李维普诺夫第二方法) 1>定量函数 设(x)=(x,x2…x)为定义在≤H上的单 值连续函数,并且有连续偏导数V(0)=0, 若在域|x≤H内有V(x)≥0(≤0), 则称V(x)为常正(常负)的。若对于一切x≠0有 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 3.稳定性的判断（李维普诺夫第二方法） 1>.定量函数 设 V x V x x x ( ) ( , ... ) = 1 2 n 为定义在 x H 上的单 值连续函数，并且有连续偏导数 V (0) 0 = ， 若在域 x H 内有 V x( ) 0( 0)   ， 则称 V x( ) 为常正(常负)的。若对于一切 x  0 有

V(x)>0(v关于方程组的全导数 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 V x( ) 0( 0)   则称 V x( ) 是正定（负定）的，习 惯上称为V函数。 例 V x x x x ( , ) 1 2 1 2 = +2 2 为正定函数。 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 V x x x x x x x x ( , ) 2 ( ) = + + = + 是常定的。 2>.V关于方程组的全导数

把解带入V函数中,对V函数关于t求导得到 dv ay dx. ay dx dt ax, dt ax dt 例:求函数沿平面自治系统的全导数 「ax x-y+xy dt 米 db Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 把解带入 V 函数中，对 V 函数关于 t 求导得到 1 2 1 2 .... n n dv v v v dx dx dx dt x dt x dt x dt    = + + + +    例：求函数沿平面自治系统的全导数 3 3 dx x y xy dt dy x y dt  =−+    = − +  ( ) 

解:利用公式得沿系统的全导数为 Ov dx ov di dt l* Ox dt ay dt x(x-y+xy)+y(x+y) xy+ y-x y+y 3>.判据 Th1对系统(1若彐一个正定函数V(x), 且V沿(1)的全导数为常负函数或恒为零, Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 解：利用公式得 V 沿系统的全导数为 (*) 3 3 2 2 3 4 ( ) ( ) dv v dx v dy dt x dt y dt x x y xy y x y x xy x y x y y   = +   = − + + − + = − + − + 3>.判据 Th1 对系统(1),若  一个正定函数 V x( ) ， 且 V 沿(1)的全导数 为常负函数或恒为零， dv dt