《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 绪论（1.1）微分方程模型习题解答

常微分方程 常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程,如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律,能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等,对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域

常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 常微分方程

学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想,结合线性代 数,解析几何等的知识,来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题,使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法,为学习其它数学理论,如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础;同时,通 过这门课本身的学习和训练,使学生学习数学建模的一些基本 方法,初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题, 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣,做好准备。 教材及参考资料 教材:常微分方程,(第二版)(97年国家教委一等奖), 王高雄等编(中山大学),高教出版社 参考书目:常微分方程,东北师大数学系编,高教出版社 常微分方程讲义,王柔怀、伍卓群编,高教出版社 常微分方程及其应用,周义仓等编,科学出版社 常微分方程稳定性理论,许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论,张芷芬等编,科学出版社

学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖）， 王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社

微分方程的发展历史 ◆方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的 在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 角方程和方程组等等。这些方程都是要把硏究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式,然后取求方程的解

一、微分方程的发展历史 ❖ 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解

在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完 全不同的问题。比如:某个物体在重力作用下自 由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火 箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的 轨道等,研究这些问题所建立的数学方程不仅与 未知函数有关,而且与未知函数的导数有关,这 就是我们要研究的微分方程。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本 思想很相似,也是要把硏究的问题中已知函数和 未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知 函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函 数的表达式 即求解微分方程

❖ 在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完 全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自 由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火 箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的 轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与 未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这 就是我们要研究的微分方程。 ❖ 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本 思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和 未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知 函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函 数的表达式－－－即求解微分方程

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的, 在公元17世纪,苏格兰数学家耐普尔创立对数的 时候,就讨论过微分方程的近似解。 生顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程 用级数来求解。后来瑞上数学家雅各布·贝努利、 欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗旦 等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。同时 数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组 合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的 影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用 及理论研究提供了非常有力的工具

牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程 用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、 欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日 等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的， 在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的 时候，就讨论过微分方程的近似解。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时， 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组 合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的 影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用 及理论研究提供了非常有力的工具

丶微分方程的研究方法 研究微分方程的一般五种方法 利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解 常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少 的,因此,人们转而研究特解的存在性问题。 2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、 延展性、解对初值的连续性和可微性问题。 3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到,而理论上又证明了 解的存在性,因此,人们将未知函数(即解)的表示成级数形式, 并引进特殊函数,如,椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等,并 使微分方程和函数论及复变函数联系起来,产生了、微分方程解析 理论

二、微分方程的研究方法 研究微分方程的一般五种方法 1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解， 常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少 的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。 2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、 延展性、解对初值的连续性和可微性问题。 3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了 解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式， 并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并 使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析 理论

4、微分方程的数值解法 5、微分方程的定性和稳定性理论 1900年,希尔波特提出的23个问题中的第16 个问题之一,至今未解决。 三、微分方程的讲授内容(学时40) 1、基本概念 阶微分方程 3、二阶微分方程4、微分方程组

5、微分方程的定性和稳定性理论 1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16 个问题之一，至今未解决。 三、微分方程的讲授内容（学时40） 1、基本概念 2 、 一阶微分方程 3、二阶微分方程 4、 微分方程组 4、微分方程的数值解法

第一章绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念

第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念

51.1微分方程模型 微分方程 联系着自变量,未知函数及其导数的关系式 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程

§1.1 微分方程模型 微分方程: 联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程

例1镭的衰变规律 设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t=0时镭元素的量为R克,试确定在 任意埘时该时镭元素的量

例1 镭的衰变规律: 0 , 0 , , . t R t = 设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比 且已知 时 镭元素的量为 克 试确定在 任意 时该时镭元素的量