《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 线性微分方程组（5.6）二维自治微分方程组的周期习题解答

§56二维自治微分方程组的周期 解和极限环 561概念及定理 562例题 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 5.6.1 概念及定理 5.6.2 例题 §5.6 二维自治微分方程组的周期 解和极限环

设『是系统 dx f(r, y) g(x, y) 的一个极限环,如果存在着的一个δ邻域, 使从此邻域内出发的其他解均正向(t->+∞) 趋近于T,则称I为稳定的极限环。 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt  =    =  设  是系统 的一个极限环,如果存在着  的一个  邻域， 使从此邻域内出发的其他解均正向 ( ) t → + 趋近于  ，则称  为稳定的极限环

如果其他解均负向于(t→>-∞)趋近于F 则称r为不稳定的极限环 如果从厂的δ邻域出发的其他轨线在的 一侧正向趋近于,另一侧负向趋近于, 则称此I为半稳定的极限环 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 如果其他解均负向于 ( ) t → − 趋近于  ， 则称  为不稳定的极限环。 如果从  的  邻域出发的其他轨线在  的 一侧正向趋近于  ，另一侧负向趋近于  ， 则称此  为半稳定的极限环

定理5.11 Poincare- Bendixson环域定理 设区域G是由两条简单闭曲线l2l2围成的 环形域并且满足下面条件: (1)G及其边界l,l2上不含奇点; (2)从G的边界l1,l2上各点出发的轨线都不能 离开(或进入)G; Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 定理5.11 Poincare-Bendixson环域定理 设区域 G 是由两条简单闭曲线 l l 1 2 , 围成的 环形域并且满足下面条件: (1) G 及其边界 上不含奇点; 1 2 l l, (2)从G的边界 l l 1 2 , 上各点出发的轨线都不能 离开(或进入) ; G

(3)l1,l2均不是闭曲线 周围在G内至少存在一个外稳定闭轨和一个内 稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭 轨),如果是惟一的闭轨周围一定是一条稳定的 (不稳定的极限环。 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 (3) l l 1 2 , 均不是闭曲线. 周围在 G 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内 稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭 轨)，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条稳定的 (不稳定的)极限环

定理5.12=1时的 VanderPol方程 元+(x2-1)x+x=0, (5.6.13) 其等价方程组 a一d y-(-x) (5.6.14) dt 至少有一个极限环。 Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 定理5.12  =1 时的VanderPol方程 2 x x x x + − + = ( 1) 0, (5.6.13) 其等价方程组 3 ( ) 3 dx x y x dt dy x dt  = − −     = −  (5.6.14) 至少有一个极限环

定理513设系统 dx =f(x,y y 的右端函数f(x,y),g(x,y)在某个单连域D内 连续可微,并且 of(x,y). af(x,y) Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 定理5.13 设系统 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt  =    =  的右端函数 f x y ( , ) ， g x y ( , ) 在某个单连域 D 内 连续可微,并且 f x y f x y ( , ) ( , ) x y   +  

在D内不变号,且在D的任何子域内不恒为零, 则方程组 dx =f(x, dh g(x,y dt 在D内不存在任何闭轨线 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 在 D 内不变号,且在 D 的任何子域内不恒为零， 则方程组 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt  =    =  在 D 内不存在任何闭轨线

定理514对于方程组 dx ,=f(x,y) dt dt 8(x y 若在某个单连域D内存在一个连续可微函数 B(x,y),使得 ( Bf)+(Bg) Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 定理5.14 对于方程组 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt  =    =  若在某个单连域 D 内存在一个连续可微函数 B x y ( , ), 使得 ( ) ( ) Bf Bg x x   +  

不变号。且在D的任何子域中不恒为零, 则方程组不存在全部位于D内的闭轨线。 定理515如果沿着系统 Da y d t8(x, y) 的极限环有 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 不变号。且在 D 的任何子域中不恒为零， 则方程组不存在全部位于 D 内的闭轨线。 定理5.15 如果沿着系统 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt  =    =  的极限环  有