《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第二章 随机变量及其分布（2.1）随机变量

第二章随机变量及其分布 在随机试验中,人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外,往往还关心某个与随机试 验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果,因而被称为随机变量. 与普通的变量不同,对于随机变量,人们无法事先预知其确切取值,但可以研究其取值的统 计规律性。本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布. 第一节随机变量 分布图示 ★随机变量概念的引入 ★随机变量的定义 ★例 ★例2 ★例3 ★引入随机变量的意义 ★课堂练习 ★习题2-1 ★返回 内容要点 随机变量概念的引入 为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量 化,即把随机试验的结果与实数对应起来 1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示 2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关但可以指定一个数量来表示之 二、随机变量的定义 定义设随机试验的样本空间为S,称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(e) 为随机变量 随机变量与高等数学中函数的比较 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围而不能预先肯定它将 取哪个值 (2)因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有 定的概率 三、引入随机变量的意义 随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来」 由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内也可以说,随

第二章 随机变量及其分布 在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试 验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统 计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布. 第一节 随机变量 分布图示 ★ 随机变量概念的引入 ★ 随机变量的定义 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 引入随机变量的意义 ★ 课堂练习 ★ 习题 2-1 ★ 返回 内容要点 一、随机变量概念的引入 为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量 化，即把随机试验的结果与实数对应起来. 1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之. 二、随机变量的定义 定义 设随机试验的样本空间为 S , 称定义在样本空间 S 上的实值单值函数 X = X(e) 为随机变量. 随机变量与高等数学中函数的比较: (1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将 取哪个值; (2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一 定的概率. 三、引入随机变量的意义 随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来. 由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随

机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之其关系类似高 等数学中常量与变量的关系 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计 规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究使人们可利 用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究 随机变量因其取值方式不同,通常分为离散型和非离散型两类.而非非离散型随机变量 中最重要的是连续型随机变量.今后,我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量 例题选讲 例I(E01)在抛掷一枚硬币进行打赌时,若规定出现正面时抛掷者赢1元钱,出现反面 时输1元钱,则其样本空间为 S={正面,反面}, 记赢钱数为随机变量X,则X作为样本空间S的实值函数定义为 正面 X(O)= 反面 例2(E02)在将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现情况的试验中,其样本空 S=HHH, HHT, HTH, THH, HIT, THT, TTH, TTT; 记每次试验出现正面H的总次数为随机变量X,则X作为样本空间S上的函数定义为 O HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 易见,使X取值为2({X=2})的样本点构成的子集为 A=(HHT, HTH, THHI 故P(X=2}=P(A)=3/8, 类似地,有 PIX<l=P(HTT, THT, TTH, TTT)=4/8 例3(E03)在测试灯泡寿命的试验中,每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,+∞)中任何 个实数,若用X表示灯泡的寿命(小时),则X是定义在样本空间S={|t≥0}上的函数 即X=X()=1是随机变量 课堂练习 1.一报童卖报,每份0.15元其成本为010元。报馆每天给报童1000份报,并规定他 不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数,试将报童赔钱这一事件用随 机变量的表达式表示

机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高 等数学中常量与变量的关系. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计 规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利 用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究. 随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量 中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量. 例题选讲 例 1 (E01) 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢 1 元钱, 出现反面 时输 1 元钱, 则其样本空间为 S = {正面, 反面}, 记赢钱数为随机变量 X , 则 X 作为样本空间 S 的实值函数定义为    − = = = 1, . 1, , ( ) 反面 正面   X  例 2 (E02) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 、反面 T 出现情况的试验中, 其样本空 间 S ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; 记每次试验出现正面 H 的总次数为随机变量 X , 则 X 作为样本空间 S 上的函数定义为 X 3 2 2 2 1 1 1 0  HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 易见, 使 X 取值为 2({X = 2}) 的样本点构成的子集为 A ={HHT,HTH,THH}, 故 P{X = 2} = P(A) = 3/8, 类似地，有 P{X 1}= P{HTT,THT,TTH,TTT}= 4/8. 例 3 (E03) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是 [0,+) 中任何 一个实数, 若用 X 表示灯泡的寿命（小时），则 X 是定义在样本空间 S ={t | t  0} 上的函数， 即 X = X(t) = t 是随机变量. 课堂练习 1. 一报童卖报, 每份 0.15 元, 其成本为 0.10 元. 报馆每天给报童 1000 份报, 并规定他 不得把卖不出的报纸退回. 设 X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随 机变量的表达式表示