《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第二章 随机变量及其分布（2.4）连续型随机变量及其概率密度

第四节连续型随机变量及其概率密度 分布图示 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量分布函数的性质 ★例1 ★例2 ★例3 ★均匀分布 ★例4 ★指数分布★例5 ★正态分布★标准正态分布★例 ★3σ准则 ★例7 ★例9 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题2-4 ★返回 内容要点 、连续型随机变量及其概率密度 定义如果对随机变量X的分布函数F(x)存在非负可积函数f(x),使得对于任意实数 有 F(x)=PX≤x=f(o)d 则称κ为连续型随机变量,称∫(x)为κ的概率密度函数简称为概率密度或密度函数 关于概率密度的说明 1.对一个连续型随机变量x,若已知其密度函数f(x),则根据定义,可求得其分布函数 F(x),同时,还可求得X的取值落在任意区间(ab]上的概率 P(a<Xsb =F(b)-F(a)=Cf()d 2.连续型随机变量X取任一指定值a(a∈R)的概率为0 3.若f(x)在点x处连续,则 F(x)=f(x 二、常用连续型分布 均匀分布 定义若连续型随机变量X的概率密度为 f(x) 0,其它 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b) 指数分布 定义若随机变量X的概率密度为

第四节 连续型随机变量及其概率密度 分布图示 ★ 连续型随机变量及其概率密度 ★ 连续型随机变量分布函数的性质 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 均匀分布 ★ 例 4 ★ 指数分布 ★ 例 5 ★ 正态分布 ★ 标准正态分布 ★ 例 6 ★ 3 准则 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2-4 ★ 返回 内容要点 一、连续型随机变量及其概率密度 定义 如果对随机变量 X 的分布函数 F(x),存在非负可积函数 f (x) ,使得对于任意实数 x 有 ( ) { } ( ) . − =  = x F x P X x f t dt 则称 X 为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数. 关于概率密度的说明 1. 对一个连续型随机变量 X ,若已知其密度函数 f (x) ,则根据定义,可求得其分布函数 F(x), 同时, 还可求得 X 的取值落在任意区间 (a,b] 上的概率:    = − = b a P{a X b} F(b) F(a) f (x)dx 2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(aR) 的概率为 0. 3. 若 f (x) 在点 x 处连续, 则 F(x) = f (x) (1) 二、常用连续型分布 均匀分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为        = − 0, 其它 , 1 ( ) a x b f x b a 则称 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布, 记为 X ~ U(a,b). 指数分布 定义 若随机变量 X 的概率密度为

x> f(x)= >0 其它 则称X服从参数为A的指数分布简记为X~e() 正态分布 定义若随机变量X的概率密度为 ∫(x)= 00)都是常数,则称X服从参数为和a2的正态分布记为X~N(y,o2) 注:正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又 常称为高斯分布 一般来说,一个随机变量如果受到许多随机因素的影响,而其中每一个因素都不起主导作用 (作用微小),则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因例如,产品 的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重测量误差,射击目标的水平或垂直 偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布 标准正态分布 正态分布当=0,σ=1时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用o(x)和 D(x)表示 (x)=e x)= 标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标 准正态分布 定理设x~N(a2),则y=x=~N(0 标准正态分布表的使用 (1)表中给出了x>0时Φ(x)的数值,当x<0时,利用正态分布的对称性,易见有 (2)若X~N(0),则 P{a<X≤b}=Φ(b)-cp(a) (3)若x~N(a),则y=x=、N(O1,故x的分布函数 F(x)=P(X)=R5- P{a<X≤b}=P 例题选讲 续型随机变量及其概率密度 例1设随机变量X的密度函数为

0 0, . , 0, ( )      = −    其它 e x f x x 则称 X 服从参数为  的指数分布.简记为 X ~ e(). 正态分布 定义 若随机变量 X 的概率密度为 , . 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = −     − − f x e x x    其中  和 (  0) 都是常数, 则称 X 服从参数为  和 2  的正态分布. 记为 ~ ( , ). 2 X N   注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又 常称为高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用 （作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品 的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直 偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布. 标准正态分布 正态分布当  = 0, =1 时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用 (x) 和 (x) 表示: , 2 1 ( ) 2 2 x x e − =   − −  = x t x e dt 2 2 2 1 ( )  标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标 准正态分布. 定理 设 ~ ( , ), 2 X N   则 ~ N(0,1). X Y  −  = 标准正态分布表的使用 （1）表中给出了 x  0 时 (x) 的数值, 当 x  0 时, 利用正态分布的对称性, 易见有 (−x) =1−(x); （2）若 X ~ N(0,1), 则 P{a  X  b}= (b) −(a); （3）若 ~ ( , ) 2 X N   , 则 ~ N(0,1), X Y  −  = 故 X 的分布函数 ( ) { } ;      − =        −  − =  =      X  x x F x P X x P       −   −   =     b Y a P{a X b} P .      −  −       − =     b  a 例题选讲 连续型随机变量及其概率密度 例 1 设随机变量 X 的密度函数为

√- -1≤x≤1 f(x)={ 其它 求其分布函数F(x) 解F(x)=PX≤x=f0d 当x1,F(x)=1,故F(x) x2+- arcsinx+,-1≤x≤1 例2设随机变量X具有概率密度 0≤x<3, 3≤x≤4, 0,其它 (1)确定常数k,(2)求的分布函数F(x),(3)求P{1<X≤7/2} 解(1)由fx)x=1,得[kxd+2 解得k=16.于是x的概率密度为f(x)={2-,3≤x≤4 0,其它 (2)X的分布函数为 0, x<0 F(x) d,3≤x<4 2/4.3≤x<4 ≥4 或P{1<X≤7/2}=F(7/2)-F(1)=41/48 例3(E01)设随机变量X的分布函数为 0

     − −   = 0, 其它 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x  求其分布函数 F(x). 解 − =  = x F(x) P{X x} f (t)dt 当 x  −1, F(x) = 0; 当 −1 x 1,  − − − =  + − x F x dt t dt 1 2 1 1 2 ( ) 0  2 1 arcsin 1 1 2 = − x + x + x   当 x 1, F(x) =1, 故       − + + −    − = . 1, 1 , 1 1 2 1 arcsin 1 1 0, 1 ( ) 2 x x x x x x F x   例 2 设随机变量 X 具有概率密度        −     = 0, . , 3 4, 2 2 , 0 3, ( ) 其它 x x kx x f x (1) 确定常数k; (2) 求X的分布函数F(x); (3) 求P{1 X  7/ 2}. 解 (1) 由  + − f (x)dx =1, 得 1, 2 2 4 3 3 0  =      + −   dx x kxdx 解得 k =1/6, 于是 X 的概率密度为 . 0, , 3 4 2 2 , 0 3 6 ( )          −     = 其它 x x x x f x (2) X 的分布函数为 F(x)                   + −    =    1, 4 , 3 4 2 2 6 , 0 3 6 0, 0 3 0 3 0 x dt x t dt t dt x t x x x . 1, 4 3 2 / 4, 3 4 /12, 0 3 0, 0 2 2         − + −      = x x x x x x x (3)    = 7/ 2 1 P{1 X 7 / 2} f (x)dx         = + − 7 / 2 3 3 1 2 2 6 1 dx x xdx 7/ 2 3 2 3 1 2 4 2 12 1         = + − x x x , 48 41 = 或 P{1 X  7/ 2}= F(7/ 2) − F(1) = 41/ 48. 例 3 (E01) 设随机变量 X 的分布函数为          = x x x x F x 1, 1 , 0 1 0, 0 ( ) 2

求(1)概率P031000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000)=e 各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用Y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件 数,则y~b(31-e-).所求概率为 P≥l}=1-PY=0}=1-C3(1-e)y(e) 标准正态分布 例6(E04)设X~N(1,4),求F(5),P10<X≤1.6},PX-1≤2} 解这里H=1,a=2,故 F(5)=P{X≤5}=P

求 (1) 概率 P{0.3  X  0.7} ; (2) X 的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有 (1) P{0.3  X  0.7}= F(0.7) − F(0.3) 0.7 0.3 0.4; 2 2 = − = (2) X 的密度函数为 f (x) = F(x)          = x x x x 0, 1 2 , 0 1 0, 0 . 0, 2 , 0 1      = 其它 x x 均匀分布 例 4(E02) 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等 时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他 候车时间少于 5 分钟的概率. 解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意 X ~ U(0,30),       = 0, 其它 , 0 30 30 1 ( ) x f x 为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达 车站, 故所求概率为 P{10  X 15}+ P{25  X  30} 3 1 30 1 30 1 30 25 15 10 = + =   dx dx 即乘客候车时间少于 5 分钟的概率是 1/3. 指数分布 例 5(E03) 某元件的寿命 X 服从指数分布, 已知其参数  =1/1000, 求 3 个这样的元件 使用 1000 小时, 至少已有一个损坏的概率. 解 由题设知, X 的分布函数为 . 0, 0 ( ) 1 , 0 1000       = −  − x e x F x x 由此得到 P{X 1000}=1− P{X 1000} 1 (1000) . −1 = − F = e 各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的, 用 Y 表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件 数, 则 ~ (3,1 ). −1 Y b − e 所求概率为 P{Y 1}=1− P{Y = 0} 1 (1 ) ( ) 1 . 0 1 0 1 3 3 3 − − − = −C − e e = − e 标准正态分布 例 6 (E04) 设 X ~ N(1,4) , 求 F(5), P{0  X 1.6}, P{| X −1| 2}. 解 这里  =1,  = 2, 故     − =  = 2 1 (5) { 5} X F P X P   −  2 5 1 (2) 2 5 1  =       − =  查表得 0.9772

16-1 P{0<X≤1.6}= =o(03)-d(-0.5) =06179-1-(0.5]=0.6179-(1-0.6915)=0.3094 Px-12}=P-1sXs3=-/sx-1 2 =Φ(l)-Φ(-1)=2(1)-1=2×0.8413-1=0.6826 准则 例7设某项竞赛成绩X~N(65,100),若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应 定为多少? 解设获奖分数线为x0,则求使P{X≥x0}=0.成立的x0 Px≥x}=1-P(x<x}=1-F(x)=1--65=0 10 即o5-65) 65 10/=09,查表10=129,解得x=779,故分数线可定为78分 例8(E05)将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在d℃,液 体的温度X(以℃计)是一个随机变量,且X~N(d,0.52) (1)若d=90℃,求X小于89℃的概率 2)若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99,问d至少为多少? 解(1)所求概率为 P{X<89}=P ∫x-9089-9 05=-2)=1-(2)=1-0.9702=0028 (2)按题意需求d满足 X-d.80-d 0.99≤P{X≥80}=P X-d 80-d 0505∫ 0.50.5 例9(E06)已知某台机器生产的螺栓长度X(单位:厘米服从参数 =006的正态分布.规定螺栓长度在1005±0.12内为合格品,试求螺栓为合格品的概率 解根据假设X~N(10050062) 记a=1005-0.12,b=1005+0.12,则{a≤X≤b}表示螺栓为合格品.于是 P{a≤X≤b}= =db(2)-d(-2) d(2)-[1-①(2)]=2(2)-1=2×0.9772-1=09544 即螺栓为合格品的概率等于0.9544 课堂练习 1.已知X~N(8.0.52),求 (1)F(9),F(7) (2)P{75≤X≤10};

      −  −       −   =  2 0 1 2 1.6 1 P{0 X 1.6} = (0.3) − (−0.5) = 0.6179 −[1− (0.5)] = 0.6179 − (1− 0.6915) = 0.3094; P{| X −1| 2} = P{−1 X  3}    − = −  2 1 1 X P 2     1 = (1) − (−1) = 2(1) −1 = 2 0.8413 −1= 0.6826. 3 准则 例 7 设某项竞赛成绩 X ~ N (65, 100)，若按参赛人数的 10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？ 解 设获奖分数线为 , 0 x 则求使 P{X  x0 } = 0.1 成立的 . 0 x { } 1 { } 1 ( ) 0 0 0 P X  x = − P X  x = − F x 0.1, 10 65 1 0  =      − = −  x 即 0.9, 10 0 65  =      −  x 查表得 1.29, 10 0 65 = x − 解得 77.9, x0 = 故分数线可定为 78 分. 例 8 (E05) 将一温度调节器放置在 贮存着某种液体的容器 内，调节器整定在 d ℃，液 体的温度 X （以℃计）是一个随机变量，且 ~ ( ,0.5 ) 2 X N d (1) 若 d = 90 ℃，求 X 小于 89℃ 的概率； (2) 若要求保持液体的温度至少为 80℃的概率不低于 0.99，问 d 至少为多少？ 解 (1) 所求概率为       − =        −  −  = 0.5 89 90 0.5 89 90 0.5 90 { 89} X P X P = (−2) =1− (2) =1− 0.9772 = 0.0228. (2) 按题意需求 d 满足       −  −   = 0.5 80 0.5 0.99 { 80} X d d P X P , 0.5 80 1 0.5 80 0.5 1       − = −        −  − = − X d d d P 即 1 0.99 1 (2.325) 0.5 80   − = −       −  d = (−2.325), 亦即 2.325, 0.5 80  − − d 故需 d  81.1635. 例 9 (E06) 已知某台机器生产的螺栓长度 X (单位: 厘米)服从参数  =10.05,  = 0.06 的正态分布. 规定螺栓长度在 10.05  0.12 内为合格品, 试求螺栓为合格品的概率. 解 根据假设 ~ (10.05,0.06 ), 2 X N 记 a =10.05−0.12, b =10.05+ 0.12, 则 {a  X  b} 表示螺栓为合格品. 于是 P{a  X  b}       −  −       − =     b  a = (2) − (−2) = (2) −[1− (2)] = 2(2) −1 = 2 0.9772 −1 = 0.9544. 即螺栓为合格品的概率等于 0.9544. 课堂练习 1. 已知 ~ (8,0.5 ) 2 X N ，求 (1) F(9),F(7); (2) P{7.5  X 10} ;

(3)P{|X-8k1 (4)P{X-9k0.5 2.某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(ua2),已知其寿命在250小时以上的 概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在4-x和山+x之间的概率不 小于0.9,x至少为多少?

(3) P{| X − 8|1}; (4) P{| X − 9 | 0.5}. 2. 某种型号电池的寿命 X 近似服从正态分布 ( , ) 2 N   , 已知其寿命在 250 小时以上的 概率和寿命不超过 350 小时的概率均为 92.36%, 为使其寿命在  − x 和  + x 之间的概率不 小于 0.9, x 至少为多少?