《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 线性微分方程组（5.5）Liapunov第二方法习题解答

s5.5 Liapunov第二方法 51定理及概念 52例题及定理的证明 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 §5.5 Liapunov 第二方法 5.1 定理及概念 5.2 例题及定理的证明

51定理及概念 定理55对于系统(551),如果可以找到 个定正函数V(X),且此V函数沿着系统的 全导数为常负函数或恒等于零, dt 则系统(551)的零解是稳定的。 Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 5.1 定理及概念 定理5.5 对于系统（5.5.1），如果可以找到 一个定正函数 V X( ) ，且此 V 函数沿着系统的 全导数为 常负函数或恒等于零， dV dt 则系统（5.5.1）的零解是稳定的

定理56对于系统(551),如果可以找到 个定的函数V(X),且沿着系统的全导数,为 dt 定负函数,则系统的零解是渐近稳定的 定理57对于系统(55.1)如果能找到一个 函数V(X)它在X=0点的任何邻域内至少有 点X,V(X)>0(<0 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 定理5.6 对于系统（5.5.1），如果可以找到一 个定的函数 V X( ) ，且沿着系统的全导数 为 dV dt 定负函数，则系统的零解是渐近稳定的。 定理5.7 对于系统（5.5.1）如果能找到一个 V 函数 V X( ) 它在 X = 0 点的任何邻域内至少有 一点 X * ， * V X( ) 0( 0)  

那么,如果存在Ⅹ=0的某个邻域D,使 d 得在D中 是定正(定负)的,则 55.1 系统(5.5.1)的零解是不稳定的。 定理58函数 V(x, y)=ax+bxy+C1 是定正的, 当且仅当a>0和4my-b2>0同时成立, Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 那么，如果存在 X = 0 的某个邻域 D ,使 得在 中 是定正（定负）的，则 (5.5.1) dV dt D 系统（5.5.1）的零解是不稳定的。 定理5.8 函数 2 V bxy cy + + （ 2 x,y）=ax 当且仅当 a  0和 4 0 av b − 2 同时成立， 是定正的

是定负的,当且仅当a0 同时成立。 定理59对于系统(551), 如果存在定正的v(x),且 常负, dt 55.1) 但是使得 0点X的集合不含系统 dt (5.5.1) (551)的除零解外的任何整条正半轨线, Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 同时成立。 是定负的，当且仅当 a  0 和 2 4 0 av b −  定理5.9 对于系统（5.5.1）， 如果存在定正的 V x( ) ，且 常负， (5.5.1) dV dt 但是使得 点 X 的集合不含系统 (5.5.1) 0 dV dt = (5.5.1)的除零解外的任何整条正半轨线

则(551)的零解是渐近稳定的。 定理5.10对于系统(551), 如果存在函数(x)和某一非负常数,使得 dy uv+W(X dt 55.1) 且当=0时,W(X)为定正函数, 当≠0时,W(X为常正函数或恒为零 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 则（5.5.1）的零解是渐近稳定的。 定理5.10 对于系统（5.5.1）， 如果存在函数 V x( ) 和某一非负常数  ，使得 (5.5.1) ( ) dV V W X dt = +  且当  = 0 时, W X( ) 为定正函数， 当   0 时， W X( ) 为常正函数或恒为零

又在X=0的任意小的邻域内, 至少存在某个X使得V(X)>0, 则(551)得零解时不稳定的。 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 又在 X = 0 的任意小的邻域内， 至少存在某个 X 使得 V X( ) 0  ， 则（5.5.1）得零解时不稳定的

52例题及定理的证明 例551在二维空间R2上 V(x1,x2)=x12+x2 是定正的函数。 V(x1,x2)=x2+2x1x2+x2 =(x1+x2)2 是常正的 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 5.2 例题及定理的证明 例5.5.1 在二维空间 R 2 上 2 2 1 2 1 2 V x x x x ( , ) = + 是定正的 V 函数。 2 2 1 2 1 1 2 2 V x x x x x x ( , ) 2 = + + 2 1 2 = + ( ) x x 是常正的

这里关于V函数有两个结论 结论1如果函数(x)是定正(常正)的, 则-V(X)定负(常负)的; 结论2如果v(x,y)是一个二维定正V函 数,则对于适当的h>0,V(x,y)=h是一条包 围原点的闭曲线。 Raordinary differential equatonon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 这里关于 V 函数有两个结论： 结论1 如果函数 V x( ) 是定正（常正）的 ， 则 −V X( ) 定负（常负）的； 结论2 如果 V x y ( , ) 是一个二维定正 V 函 数，则对于适当的 h V x y h  = 0, ( , ) 是一条包 围原点的闭曲线

现在讨论如何应用函数来确定非线性 微分方程解的稳定性问题。 为了简单,我们只考虑非线性自治系统 dX d=() (55.1) 其中 Ordinary differential equationon 日录上页下页◎返回@结束8

目录 上页 下页 返回 结束 微分方程解的稳定性问题。 现在讨论如何应用 V 函数来确定非线性 为了简单，我们只考虑非线性自治系统 ( ) dX f X dt = （5.5.1） 其中: