《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 一阶微分方程的解的存在定理（3.1）解的存在唯一性定理与逐步逼近法习题解答

第三章 阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

问题的提出:在前一章中,我们介绍了能用初等方法求解的一阶方程 的几种类型,但同时指出,大量的一阶微分方程是不能用初等方法求 出其通解的.另一方面,实际问题所需要的往往是要求满足某种初始 条件的解.因此现在我们把注意力集中在Cauc问题 f(x, y) y(xo)=y 的求解上.与代数方程类似,对于不能用初等方法求解的微分方程, 我们往往用数值法求解(这是以后要学的计算方法课程的内容之一) 在用数值法求Cauc问题解之前,需要在理论上先解决下面两个基 本问题:

需解决的问题 1°初值问题 f(,y) 的解是否存在 y(o)=yo 20若初值问题 f(x,y)的解是存在是否唯一? y(xo)=yo

需解决的问题 , ? ( ) ( , ) 1 0 0 0 初值问题 的解是否存在     = = y x y f x y dx dy , , ? ( ) ( , ) 2 0 0 0 若初值问题 的解是存在 是否唯一     = = y x y f x y dx dy

53.1解的存在唯一性定理与逐 步逼近法

§3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法

存在唯一性定理 1定理1考虑初值问题 dxf(x, y) (3.1) y(xo)=yo 其中f(x,y)在矩形区域R:x-x0≤ay-yb≤b,(32) 上连续,并且对y满足 Lipschi条件 即存在L>0,使对所有(x,y1)(x,y2)∈R常成立 f(x,y)-f(x, y2)sLy-y2l 则初值间题(31)在区间x-x0≤h上的解存在且唯 b 这里h=m(a,,M=Mxf(x,y) (x,y)∈R

一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0     = = y x y f x y dx dy 其中f (x, y)在矩形区域R: , , (3.2) x − x0  a y − y0  b 上连续, 并且对y满足Lipschitz条件: 即存在L  0,使对所有(x, y1 ),(x, y2 )R常成立 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y )  L y − y (3.1) , 则初值问题 在区间x − x0  h上的解存在且唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = =

证明思路(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程 y=y+f(,y)t(3.5) 的连续解 (2)构造(3.5)近似解函数列{9n(x)} 任取一连续函数q(x)1m(x)-y≤b,代入(35) 右侧的y得 9(x)=y+f(290(5)k 若q(x)=0(x),则q(x)为解否则将q(x)代入(35) 右侧的y得 (x)=y+∫f(5,%()!5

(1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 ( , ) (3.5) 0 0 y y f t y dt x x = + 的连续解. 证明思路 (2) 构造(3.5)近似解函数列 { (x)} n 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x x      x y f d = +  右侧的 得 任取一连续函数 代入 , ( ), ( ) , (3.5) 0 0 0 y  x  x − y  b 右侧的 得 若 则 为解 否则将 代入 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 1 0 0 1 y  x = x  x  x 0 2 0 1 ( ) ( , ( )) x x      x y f d = + 

若2(x)=9(x)则a1(x)为解否则将2(x)代入(3.5) 右侧的y n+(x)=y+.(,9(5)l5, 这里要求m(x)-y≤b 若n(x)=n(x)则n(x)为解, 否则一直下去可得函数列{qn(x)} (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)

, ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 2 1 1 2 y x x x x 右侧的 若 = 则 为解 否则将 代入 0 1 0 ( ) ( , ( )) , x n n x      x y f d + = +  ( ) , 这里要求n x − y0  b ( ) ( ), ( ) , 若n+1 x =n x 则n x 为解 { (x)} 否则一直下去可得函数列 n (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)

(3)函数序列{n(x)}在x-h,x+h上一致收敛于(x) 这是为了1im9n1(x)=y+imf(5,9(5)l5 Do+ limf(s, p(s)ds 即(x)=y+f(5,0(5)kl5, 只需函数列{f(x,9,(x)在[x0-h,x+h]上 致收敛于f(x,0(x) 由f(x,9n(x)-f(x,(x)≤L1(x)-(x) 只需{n(x)}在x-h,x+h上一致收敛于(x)

(3) { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 函数序列 n 在 − + 上一致收敛于 这是为了 0 1 0 lim ( ) lim ( , ( )) x n n n n x      x y f d + → → = +  0 0 lim ( , ( )) x n x n y f d     →  = +  即 0 0 ( ) ( , ( )) , x x      x y f d = +  ( , ( )). { ( , ( ))} [ , ] 0 0 f x x f x n x x h x h   致收敛于 只需函数列 在 − + 上一 f (x, (x)) f (x, (x)) L (x) (x) 由 n −   n − { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 只需 n 在 − + 上一致收敛于

由于q(x)+∑(q(x)-9k1(x)=n(x) 于是函数列(n(x)}在x0-h2,x0+h上一致收 敛性等价于函数项级数 0(x)+∑(qn(x)-n1(x) n=1 在x0-h,x+h上一致收敛性 (4)9(x)是积分方程(3.5)定义于x0h2,x0+h上连续解 且唯

( ) ( ( ) ( )) ( ), 1 0 1 x x x x n n k  + k −k = = 由于 − 敛性 等价于函数项级数 于是函数列 在 上一致收 , { ( )} [ , ] n x x0 − h x0 + h ( ) ( ( ) ( )), 1 0  1  = + − − n n n  x  x  x [ , ] . 在 x0 − h x0 + h 上一致收敛性 . (4) ( ) (3.5) [ , ] 0 0 且唯一  x 是积分方程 定义于 x − h x + h 上连续解

下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程 如y=e+y(),就是一个简单的积分方程 积分方程的解 对于积分方程y=y+f(t,y)ot,如果存在定义在区间 I=[a,B上的连续函数y=q(x)使得 0(x)=y0+f(t20(t)dt 在区间上恒成立,则称y=(x)为该积分方程的解

下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 积分方程 : ( ) , . 0 如 = +  就是一个简单的积分方程 x x y e y t dt , ( ) . ( ) ( , ( )) [ , ] ( ), ( , ) , 0 0 0 0 在区间 上恒成立 则称 为该积分方程的解 上的连续函数 使得 对于积分方程 如果存在定义在区间 I y x x y f t t dt I y x y y f t y dt x x x x       = = + = = = +  