《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 一阶微分方程的初等解法（2.2）线性方程与常数变易法习题解答

522线性方程与常数变易法

§2.2 线性方程与常数变易法

阶线性微分方程 dy (x)+b(x)y+c(x)=0 在a(x)≠0的区间上可写成 =P(x)y+Q(x)(1) dx 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x)=0,则(1)变为 P(x)y(2) x (2)称为阶齐次线性方程 若Q(x)≠0,则(1)称为一阶非齐线性方程

( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x 一阶线性微分方程 在a(x)  0的区间上可写成 P(x) y Q(x) (1) dx dy = + 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x) = 0,则(1)变为 P(x) y (2) dx dy = (2)称为一阶齐次线性方程 若Q(x)  0,则(1)称为一阶非齐线性方程

阶线性微分方程的解法---常数变易法 1°解对应的齐次方程 dy d x p(x)y 得对应齐次方程解 cmah,c为任意常数 20常数变易法求解 =P(x)y+Q(x)(1) x (将常数C变为x的待定函数c(x)使它为(1)的解) 少y=c(x) Ve/(x)dr 为①)的解,则

一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法 1 0 解对应的齐次方程 ( ) (2) dy p x y dx = 得对应齐次方程解 2 0 常数变易法求解 (将常数c变为x的待定函数c(x),使它为(1)的解) y ce dx c为任意常数 p x , ( )  = 令 ( ) 为(1)的解,则 ( )  = p x dx y c x e P(x) y Q(x) (1) dx dy = +

dy dc(x)p(x) +c(xp(xe p(x)di ax dc(x) (x ddi 代入(1)得 Q(xe 积分得c(x)=Q(x)e p(x dx dx+ 30故(1)的通解为 (c(x) ∫po p(x)dx 已 lx 注求(1)的通解可直接用公式(3)

p x d x p x d x e c x p x e dx dc x dx dy  +  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入(1)得 p x d x Q x e dx dc x  = − ( ) ( ) ( ) 积分得 ~ ( ) c(x) Q(x)e dx c p x d x +  =  − 3 0 故(1)的通解为( ( ) ) (3) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x +   =  − 注 求(1)的通解可直接用公式(3)

例1求方程 1)a n+1 x+ ny=e(x+ 通解这里为n常数 解:将方程改写为d=-々 ,y+e2(x+1) dx x+1 首先求齐次方程④ y的通解 dx x+1 dy= n d 从 y分离变量得 dx x+1 yx+1 两边积分得hy=nhx++15

例1 求方程 1 ( 1) ( 1) + + − = + x n ny e x dx dy x 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 x n y e x x n dx dy ( 1) 1 + + + = 首先,求齐次方程 y x n dx dy +1 = 的通解 从 y x n dx dy +1 = 分离变量得 dx x n y dy +1 = 1 1 两边积分得 ln y = nln x + +c

故对应齐次方程通解为y=c(x+1) p(xdx x+1 y=ce - ce =c(x+1) 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 令y=c(x)(x+1)"为原方程的通解代入得 dc(x) x+1)+nc(x)(x+1n=n(x)(x+1)-+e(x+1) x dc(x) =e积分得c(x)=e+c dx 故通解为y=(x+1)(ex+c,c为任意常数

故对应齐次方程通解为 n y = c(x +1) 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 令y = c(x)(x +1) n 为原方程的通解,代入得 n n n x n x nc x x nc x x e x dx dc x ( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( 1) ( ) 1 1 + + + = + + + − − 即 x e dx dc x = ( ) 积分得 ~ c(x) e c x = + 故通解为 为任意常数 ~ ~ y (x 1) (e c), c n x = + + n d x x n p x d x y ce ce c(x 1) 1 ( ) = +  =  = +

例2求程=y 通解 dx 2x 解:原方程不是未知函数y线性方程,但将它改写为 dx 2 即 x-y 它是以为未知函数y为自变量的线性方程, p(y)dy e vp(lc )dv 故其通解为x=e Q(e dy+c) e cv)e ]ydy dy+c) y2(-hy+c)c为任意常数

例2 求方程 2 2x y y dx dy − = 通解. 解: 原方程不是未知函数y的线性方程， 但将它改写为 y x y dy dx 2 2 − = 即 x y dy y dx = − 2 它是以x为未知函数, y为自变量的线性方程， 故其通解为 ( ( ) ) ~ ( ) ( ) x e Q y e dy c p y d y p y d y +   =  − ( ( ) ) ~ 2 2 e y e dy c d y y d y y +  −  =  − y ( ln y c), c为任意常数。 ~ 2 = − +

例3求值问题 =-y+4x2+1,y(1)=1 dx x 的解 解:先求原方程的通解 p(x)d p(x)di Q(e3 dx +c) dx ((4x2+1ld+c) 2 (4x2+1)3x+c)

例3 求值问题 4 1, (1) 1 3 2 = y + x + y = dx x dy 的解. 解: 先求原方程的通解 ( ( ) ) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x +   =  − ( (4 1) ) ~ 3 2 3 e x e dx c dx x dx x +  +  = −  ) 1 ( (4 1) ~ 3 3 2 dx c x x x  = + +

=x(4hx-1+)2(4x+ dx +c) 2x X -r Inxs +Cx 将初始条件y(1)=代入后得c 故所给初值问题的通解为 4 y=x n+=x 2

) 2 1 (4ln ~ 2 3 c x = x x − + 3 ~ 3 4 2 ln c x x = x x − + 将初始条件y(1) =1代入后得 2 3 ~ c = 故所给初值问题的通解为 2 2 3 ln 3 4 3 x y = x x + x − ) 1 ( (4 1) ~ 3 3 2 dx c x x x  + +

二伯努利( Bernoulli)方程 形如 d r p(x)ytv 的方程称为伯努利方程.这里P(x),Q(x)为x的连续函数。 解法:10引入变量变换z=ym,方程变为 (1-n)P(x)z+(1-n)Q(x) 2°求以上线性方程的通解 30变量还原

二 伯努利(Bernoulli)方程 形如 n p x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) 的方程,称为伯努利方程. 这里P(x),Q(x)为x的连续函数。 解法: 1 0 引入变量变换z = y 1−n ,方程变为 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx dz = − + − 2 0 求以上线性方程的通解 3 0 变量还原