《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 导数的应用 3.4 极值的经济应用

教学建议学习目标第三章导数的应用S3.1函数的单调性与极值S3.2极值的几何应用83.3边际与弹性83.4极值的经济应用$3.5曲线凹凸与拐点

§3.1 函数的单调性与极值 §3.2 极值的几何应用 §3.3 边际与弹性 教学建议 学习目标 第三章 导数的应用 §3.4 极值的经济应用 §3.5 曲线凹凸与拐点

$ 3.4极值的经济应用一.收益最大二.平均成本最低三.利润最大四.存货总费用最少

一. 收益最大 三.利润最大 §3.4 极值的经济应用 二.平均成本最低 四.存货总费用最少

一．收益最大(合理定价以使收益最大)经市场调研,金牛牌内衣案例1在某地区每周的需求Q(单位：件)与其价格P(单位：元/件)之间具有如下关系：: Q =1600- 40p,试确定商品的价格P、需求Q,以使收益最大,并求最大收益，解案例1要确定商品的价格P、需求Q的值,以使收益最大,所以目标函数应是总收益函数由于总收益R为价格p与销售量Q(需求量)的乘积,而由需求Q与其价格P之间的关系,得p=40-40于是R= p- =(40- 40)-9 = 40- 409,Q e (0,1600)

一 . 收益最大 案例1 (合理定价,以使收益最大)经市场调研,金牛牌内衣 在某地区每周的需求 (单位:件)与其价格 (单位: 元/件)之间具有如下关系: Q p 要确定商品的价格 、需求 的值,以使收益最大,所 以目标函数应是总收益函数. 解案例1 p Q 试确定商品的价格 p 、需求 Q ,以使收益最大,并求最大收益. 由于总收益 为价格 与销售量 (需求量)的乘积,而由需求 与其价格 之间的关系,得 R p Q Q p . 40 1 p = 40 − Q R = p Q = − Q)Q 40 1 (40 , 40 1 40Q Q2 = − 于是 Q(0,1600). Q =1600 − 40p

案例1续解案例1（合理定价，以使收益最大）Q)·Q = 40Q-QR= p·Q=(40--4040>0.0 <0<800.因dR = 40 - .=0,0= 800,dQ40<0,800<Q<1600.故0=800(件)时，总收益最大这时,每件内衣的售价为p= 40-×800=20(元/件)40最大收益为R = 20 × 800 = 16000 (元)

案例1 续解案例1 (合理定价,以使收益最大) R = p Q = − Q)Q 40 1 (40 , 40 1 40Q Q2 = − 因        = =    = − 0, 800 1600. 0, 800, 0, 0 800, 40 2 40 d d Q Q Q Q Q R 故 Q = 800 (件)时, 总收益最大. 这时,每件内衣的售价为 800 20 40 1 p = 40 −  = (元/件), 最大收益为 R = 20800 =16000 (元)

练习1(“薄利多销”，以使收益最大)天力牌衬衣,若定价为每件50元，一周可售出1000件，市场调查显示,若每件售价每降低2元一周的销售量可增加100件.问每件售价定为多少元时，能使商家的销售额最大，最大销售额是多少？解销售额最大,就是收益最大.所以目标函数是总收益函数设因降价可多销售Q件衬衣,则销售的总件数为1000+Q依题设，每件衬衣售价每降低2元，销售可增加100件，现因降价e多销售了Q件衬衣,故每件衬衣应降价2×元，从而，每件衬衣的100售价P应为原售价减去每件衬衣应降低的价格，即p=50-2>50-0.02Q (元),100由上式,当p=0时，Q=2500，即因降价最多可多销售2500件

解 销售额最大,就是收益最大.所以目标函数是总收益函数. 练习1(“薄利多销”，以使收益最大) 天力牌衬衣,若定价为每件 50元,一周可售出1000件,市场调查显示,若每件售价每降低2元, 一周的销售量可增加100件.问每件售价定为多少元时,能使商 家的销售额最大, 设因降价可多销售 Q 件衬衣,则销售的总件数为 1000 + Q. 依题设,每件衬衣售价每降低2元,销售可增加100件,现因降价 多销售了 Q 件衬衣,故每件衬衣应降价 100 2 Q  元,从而,每件衬衣的 售价 p 应为原售价减去每件衬衣应降低的价格,即 Q Q p 50 0.02 100 = 50 − 2 = − (元), 由上式,当 时, 即因降价 最多可多销售2500件． p = 0 Q = 2500

续解设因降价可多销售Q件衬衣,则销售的总件数为1000+Q练习1Op= 50-2 x50-0.02Q (元),100这时,总收益函数为售价与销售件数的乘积,即R = R(Q) = p·(1000 +) = (50 - 0.02Q)(1000 +Q)= 50000+30Q-0.02Q, Q E(0, 2500)因>0,0 <0<750,R = 30-0.04Q =0,0 = 750,dQ<0,750<Q<2500.故O=750（件)时，销售额最大.这时，每件衬衣的售价为p=50-0.02×750=35(元/件)最大销售额为R=35×(1000+750)=61250 (元)

续解 练习1 设因降价可多销售 Q 件衬衣,则销售的总件数为 1000 + Q. Q Q p 50 0.02 100 = 50 − 2 = − (元), 这时,总收益函数为售价与销售件数的乘积,即 R = R(Q) = p (1000 + Q) = (50 − 0.02Q)(1000 +Q) 50000 30 0.02 , Q Q2 = + − Q(0, 2500). 因        = =    = − 0, 750 2500. 0, 750, 0, 0 750, 30 0.04 d d Q Q Q Q Q R 故 Q = 750 (件)时,销售额最大.这时,每件衬衣的售价为 最大销售额为 p = 50 − 0.02750 = 35 (元/件), R = 35(1000 + 750) = 61250 (元)

平均成本最低（以价格优势抢占市场份额,平均成本最低）川红彩案例2电为了在市场竞争中，以价格优势抢占市场份额,在集团内实施“以平均成本最低为目标”的经营策略根据以往的统计资料，生产总成本C(单位：百万元)是月产量Q(单位：万台)的函数C = C(Q) = 0.4Q2 +3.8Q +38.4.问：月产量应为多少台，才能实现平均成本最低的目标?这时,每台彩电的平均成本为多少元？解案例2本案例是以平均成本函数为目标函数由总成本函数得平均成本函数CQ) = 0.4Q+3.8+ 384AC=Qe(0, +00)QQ

二. 平均成本最低 案例2 问:月产量应为多少台,才能实现平均成本最低的目标?这时,每 台彩电的平均成本为多少元? 解案例2 (以价格优势抢占市场份额,平均成本最低) 川红彩 电为了在市场竞争中,以价格优势抢占市场份额,在 集团内实施“以平均成本最低为目标”的经营策略. 根据以往的统计资料,生产总成本 (单位:百万元)是 月产量 Q (单位:万台)的函数 C ( ) 0.4 3.8 38.4. 2 C =C Q = Q + Q+ 本案例是以平均成本函数为目标函数. 由总成本函数得平均成本函数 , 38.4 0.4 3.8 ( ) Q Q Q C Q AC = = + + Q(0, + )

案例2续解案例2本案例是以平均成本函数为目标函数C(Q)= 0.40 +3.8 + 38.4,4, Qe(0, +00)ACQQ0,Q > 9.798 .故当0=9.798(万台)时,平均成本函数有最小值.即产量为97980台时，平均成本最低，这时,每台彩电的最低平均成本为.798=(0.4Q+3.8+38.4)AC0-9.798-9.798Q=11.64（百万元/万台）=1164（元/台）

案例2 续解案例2 本案例是以平均成本函数为目标函数. , 38.4 0.4 3.8 ( ) Q Q Q C Q AC = = + + Q(0, + ). 因       = =    = − 0, 9.798 . 0, 9.798 , 0, 0 9.798 , 38.4 0.4 d d( ) 2 Q Q Q Q Q AQ 故当 (万台)时,平均成本函数有最小值.即产量为 97980台时,平均成本最低. Q = 9.798 这时,每台彩电的最低平均成本为 ) 38.4 (0.4 3.8 9.798 Q AC Q = Q + + = Q=9.798 =11.64(百万元/万台 ) =1164(元/台 )

三.利润最大案例3(经营者的目的是为了追求最大利润一一利润最大化原则)设厂商的总收益函数和总成本函数分别头R(O) = 400- 4Q, C(O) = 2Q + 4Q+10求利润最大时的产量、产品的价格和利润解案例3本案例是以利润函数为目标函数.利润函数为元 = 元Q) = R(O) - C(Q)= 40Q-4Q2-(2Q +4Q+10)= -6Q +36Q-10,Q e(0, 10)由于[>0,03

案例3 三. 利润最大 求利润最大时的产量、产品的价格和利润. 解案例3 (经营者的目的是为了追求最大利润一—利润最大 化原则) 设厂商的总收益函数和总成本函数分别为 本案例是以利润函数为目标函数.利润函数为 ( ) 40 4 , Q Q Q2 R = − ( ) 2 4 10, 2 C Q = Q + Q+  = (Q) = R(Q) −C(Q) 40 4 (2 4 10) 2 2 = Q− Q − Q + Q+ 6 36 10, 2 = − Q + Q− Q(0, 10). 由于 12 36 d d = − Q + Q        = =    0, 3. 0, 3, 0, 0 3, Q Q Q 所以利润最大时 的产出水平是 Q = 3

续解C(Q) = 2Q +4Q+10R(Q) = 40Q- 4Q2案例3求利润最大时的产量、产品的价格和利润元 = 爪Q)=-6Q+36Q-10所以利润最大时的产出水平是Q=3.由总收益函数可得价格函数R(Q)40Q-4Q=40-4Qp=QQ利润最大时的价格Plo=3 = 40- 4×3=28.这时的最大利润为g=3= -6×32 +36×3-10 = 44

求利润最大时的产量、产品的价格和利润. 续解 案例3 ( ) 40 4 , Q Q Q2 R = − ( ) 2 4 10, 2 C Q = Q + Q+  = (Q) 6 36 10, 2 = − Q + Q− 所以利润最大时的产出水平是 Q = 3. 由总收益函数可得价格函数 40 4 , ( ) 40 4 2 Q Q Q Q Q R Q p = − − = = 利润最大时的价格 40 4 3 28. p Q=3 = −  = 这时的最大利润为 6 3 36 3 10 44. 2  Q=3 = −  +  − =