《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.7反常积分

第七节广义积分

第七节 广义积分

无穷（限）积分定义1 设 f(x)在[a,+o)上连续,如果极限lim J, f(x)dx存在,则称此极限为函数 f(x)在[a,+o)上的反常积分记为[(x)dx,，即又称无穷限积分，J,* f(x)dx = lim J' f(x)dx.此时,1f(x)dx 收敛,若极限就说反常积分+8limf(x)dx 不存在,则称反常积分f(x)dx++80发散

无穷（限）积分 ( ) [ , ) , lim ( ) , ( ) [ , 1 ) . b b a f x a f x dx f x a →+ + +  设 在 上连续 如果极限 存在 则称此极限为函数 在 上的反 定 常积分 义 , ( ) , lim ( ) , ( ) a b b a a f x dx f x dx f x dx + + →+    此时 就说反常积分 若极限 不存在 则 收 称反常积分 敛 发散. , ( ) , ( ) lim ( ) . a b a a b f x dx f x dx f x dx + + →+ =    又称无穷限积分 记为 即

类似地，可定义广义积分f(x)dx.[ f(x)dx = lim 11-[- f(x)dx = J"m f(x)dx + Jt8f(x)dx

类似地，可定义广义积分 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx − →− =   ( ) ( ) ( ) . a a f x dx f x dx f x dx + + − − = +   

例1计算广义积分e-xdx.解e-*dx = lim-*dx = lim(1-e-b)= 1.h-+80b+o或 e-*dx = -e-x=1

0 1 . x e dx +  − 例 计算广义积分  0 0 lim lim (1 ) 1. b x x b b b e dx e dx e +  − − − →+ →+ = = − = 解   0 0 1. x x e dx e +  + − − = − = 或 

8例2判断无穷积分cosxdx的敛散性2解: limcosxdx = lim sin x = lim(1- cosb)b-+o0b-→+ob-→+oo不存在，+8cosxdx发散

0 2 cos . xdx +  例 判断无穷积分  的敛散性 0 0 lim cos lim sin lim (1 cos ) , b b b b b xdx x b →+ →+ →+ = = − 解  不存在 0 cos . xdx +   发散

+8例3 证明反常积分dxbp当p>1时收敛；当p≤1时发散寸, &x=.证 p=1时,dx = Inx=+8;xp1.一-00：.当p>1时，收敛；当p≤1时dx发散

1 1 1 3 1 ; p dx x p p +    证明反常积分 当 时收敛 当 例 时发散. 1 1 1 1 1 1 , ln ; p p dx dx x x x + + + 证 = = = = + 时   1 1 1 , 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 p p p x p dx x p p p + − +   +    = =  −    − 时  ． 1 1 1 1 1 ; 1 p p p dx p dx x x + +    当 时   收敛 当 时 发散

dx例4求无穷积分[I+xdx-80解= arctanx |- = 元.中1+x?Y

2 . 1 4 dx x +  −  + 例 求无穷积分  2 arctan | . 1 dx x x  +  + − −  = = + 解 

例5讨论无穷积分dx 的敛散性81+xX解·=+d1+x21且[d(1+ x2)T{In(1+ x)t=+8,2X-00dx发散

2 . 1 5 x dx x +  −  + 例 讨论无穷积分  的敛散性 0 2 2 2 0 , 1 1 1 x x x dx dx dx x x x + + − − = + + + + 解    2 . 1 x dx x +  −   +  发散 2 2 2 0 0 2 0 1 1 = (1 ) 1 2 1 1 ln(1 ) = , 2 x dx d x x x x + + + + + + = + +  且  

被积函数具有无穷间断点的反常积分定义2 设 f(x)在(a,b) 上连续,且 lim f() = 00x-→at如果极限 lim f(x)dx 存在,则称此极限为函数40f(x)在[a,b]上的反常积分又称瑕积分，仍记为可f(x)dx,即J f(x)dx = limf(x)dx.此时,若极限就说反常积分J, f(x)dx 收敛,2T' F(x)dx则称反常积分limf(x)dx 不存在,[拉u-→a发散

( ) ( , ] , lim ( ) . lim ( ) , ( ] . 2 ) [ , x a b u a u f x a b f x f x dx f x a b + + → → =   设 在 上连续 且 如果极限 存在 则称此极限为函数 在 上 定 的反常积分 义 , ( ) , ( ) lim ( ) . b a b b a u u a f x dx f x dx f x dx → + =    又称瑕积分 仍记为 即 , ( ) , lim ( ) , ( ) b a b b u a u a f x dx f x dx f x dx → +    此时 就说反常积分 若极限 不 收敛 存在 则称反常积分 发散. 被积函数具有无穷间断点的反常积分

被积函数具有无穷间断点的反常积分f (x)dx = lim f(x)dx;福t-b-f(x)dx[, f(x)dx = limf(x)dx + limu-→c+(a<c<b)

被积函数具有无穷间断点的反常积分 ( ) lim ( ) ; b t a a t b f x dx f x dx → − =   ( ) lim ( ) lim ( ) . ( ) b t b a a u t c u c f x dx f x dx f x dx a c b → → − + = +     