《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 导数的应用 3.5 曲线凹凸与拐点

教学建议学习目标第三章导数的应用S3.1函数的单调性与极值S3.2极值的几何应用83.3边际与弹性83.4极值的经济应用$3.5曲线凹凸与拐点

§3.1 函数的单调性与极值 §3.2 极值的几何应用 §3.3 边际与弹性 教学建议 学习目标 第三章 导数的应用 §3.4 极值的经济应用 §3.5 曲线凹凸与拐点

$3.5曲线的凹凸与拐点一.曲线凹凸与拐点的定义二.曲线凹凸与拐点的求法

一. 曲线凹凸与拐点的定义 §3.5 曲线的凹凸与拐点 二.曲线凹凸与拐点的求法

一.曲线凹凸与拐点的定义案例请问：“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状？”在某一地区，一种耐用消费品的销售数量y与销售时间x之间有函数关系y= f(x),其销售情况如图所示随着时间的山进一步在时间段(0,x)内,曲延续,其销售数单调上升分析线AM上升的趋势由量不断增加缓慢而逐渐加快B1y=f(x)F)在时间段(xo,十0)内,曲线M销售量由加M.N上升的趋势是由快而转快转向平稳向缓慢,并随着时间的延续而的转折点以直线V=B为水平渐近线xX=0.V=A.这是由于在该产品上市之前，已作了大量的广告宣传，故该产品一上市,就销出数量A

一 . 曲线凹凸与拐点的定义 案 例 请问:“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状?” 进一步 分析 在某一地区,一种耐用消费品的销售数量 与销售时 间 之间有函数关系 y = f (x) ,其销售情况如图所示. y x y O x0 x B y = f (x) N A ( ) 0 f x 在时间段 内,曲 线 上升的趋势由 缓慢而逐渐加快. (0, ) 0 x AM0 在时间段 内,曲线 上升的趋势是由快而转 向缓慢,并随着时间的延续而 以直线 为水平渐近线. ( , ) x0 + M0 N y = B 销售量由加 快转向平稳 的转折点. M0 随着时间的 延续,其销售数 量不断增加. 单调上升 这是由于在该产品上 市之前,已作了大量的广告宣传,故 该产品一上市,就销出数量A. x = 0, y = A

请问：“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状？”案例在某一地区，一种耐用消费品的销售数量y与销售时间x之间有函数关系y= f(x),其销售情况如图所示切线在上，在时间段(0,x)内,1V单调上升曲线在下.曲线AM.向上弯曲进一步称曲线是凹的B分析Ny=f(x)f(x)M.曲线凹凸改变在时间段(xo,十00)内,的分界点，称为曲线MN向下弯曲，A曲线的拐点，称曲线是凸的0xXo切线在下，曲线在上

案 例 请问:“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状?” 进一步 分析 在某一地区,一种耐用消费品的销售数量 y 与销售时 间 x 之间有函数关系 y = f (x) ,其销售情况如图所示. y O x0 x B y = f (x) N A ( ) 0 f x 在时间段 内, 曲线 向上弯曲, 称曲线是凹的. (0, ) 0 x AM0 在时间段 内, 曲线 向下弯曲, 称曲线是凸的. ( , ) x0 + M0 N 曲线凹凸改变 的分界点,称为 曲线的拐点. M0 单调上升 切线在下, 曲线在上. 切线在上, 曲线在下

曲线凹凸与拐点的定义定义3.2在区间I内,若曲线弧位于其上任一点切线的上方,则称曲线在该区间内是凹的;上弦月若曲线弧位于其上任一点切线的下方,则称曲线在该区间内是凸的下弦月

曲线凹凸与拐点的定义 定义3.2 在区间 I 内, 若曲线弧位于其上任一点切线的下方,则称曲线在该 区间内是凸的. 若曲线弧位于其上任一点切线的上方,则称曲线在该 区间内是凹的; 上弦月 下弦月

曲线凹凸与拐点的求法二.函数f(x)在区间I内二阶可导,α表示曲线的切线倾角，假设当f"(x)>O时,导函数f'(x)单调增加,从而切线斜率tanα随X增加而由小变大凹,增tanα < tan αyt tanα <tanαf(x)< f'(x)f(x)<f'(x)切线在下,切线在下y=f(x)曲线在上，曲线在上，Qα是锐角曲线凹.曲线凹.y= f(x)Q是钝角Q2凹,减Q10OlxxXx2 xX < X, <02X < X2, d <2

二. 曲线凹凸与拐点的求法 假设 函数 在区间 内二阶可导,  表示曲线的切线倾角. f (x) I 当 时,导函数 单调增加,从而切线斜率 随 增加而由小变大. f (x)  0 f (x) tan x O x y 1 x 1 2 x 2 y = f (x) 1 2 tan  tan ( ) ( ) 1 2 f x  f x 切线在下, 曲线在上, 曲线凹. O x y 1 x 2 x 2 1 y = f (x) , , 1  2 1 2 x x 1 2 tan  tan ( ) ( ) 1 2 f x  f x 切线在下, 曲线在上, 曲线凹. , , 1  2 1 2 x x  是锐角  是钝角 凹,增 凹,减

假设函数f(x)在区间I内二阶可导,α表示曲线的切线倾角当f"(x)>O时,导函数f'(x)单调增加,从而切线斜率tanα随X增加而由小变大X 0

假设 函数 在区间 内二阶可导,  表示曲线的切线倾角. f (x) I 当 时,导函数 单调增加,从而切线斜率 随 增加而由小变大. f (x)  0 f (x) tan x O x y 1 x 2 x 1 2 切线在下, 曲线在上, 曲线凹. 2 是锐角 y = f (x) 1 是钝角 f (x)  0. f (x) 单调增加 上述三条曲线增 减性不同,但都是 凹的,共同特点是: tan 0 tan2  0 1  f(x1 )  f(x2 ) 凹,非单调 1 2 tan  tan 1 2 x  x

假设函数f(x)在区间I内二阶可导,α表示曲线的切线倾角.当f"(x) tan αyt tan α > tan α凸,增f(x) > f(x)f(x)> f'()凸,减切线在上，切线在上，y= f(x)曲线在下曲线在下y=f(x)曲线凸.α是锐角曲线凸，Qα是钝角01Q2642xdX X2xXi X2X Q2X 2

假设 函数 在区间 内二阶可导,  表示曲线的切线倾角. f (x) I 当 时,导函数 单调减少,从而切线斜率 随 增加而由大变小. f (x)  0 f (x) tan x O x y 1 x 2 2 x 1 1 2 tan  tan ( ) ( ) 1 2 f x  f x 切线在上, 曲线在下, 曲线凸. O x y 1 x 2 x 1 2 切线在上, 曲线在下, 曲线凸. , , 1  2 1 2 x x  是锐角  是钝角 y = f (x) y = f (x) , , 1  2 1 2 x x 1 2 tan  tan ( ) ( ) 1 2 f x  f x 凸,增 凸,减

假设 函数f(x)在区间I内二阶可导,α表示曲线的切线倾角.当f"(x) tan α曲线凸.tanα >0f'(x)> f(x)tanα <0α是锐角上述三条曲线增减性不同，但都是α2是钝角凸的,共同特点是(= f(x)f'(x)单调减少x0XXf"(x) <0

假设 函数 在区间 内二阶可导,  表示曲线的切线倾角. f (x) I O x y 1 x 2 x 2 1 切线在上, 曲线在下, 曲线凸. 1 是锐角 2 是钝角 f (x)  0. f (x) 单调减少 上述三条曲线增 减性不同,但都是 凸的,共同特点是: tan 0 2  tan 0 1  当 时,导函数 单调减少,从而切线斜率 随 增加而由大变小. f (x)  0 f (x) tan x y = f (x) 1 2 tan  tan ( ) ( ) 1 2 f x  f x 1 2 凸,非单调 x  x

拐点存在由于拐点是曲线V= f(x)上,凹与凸的分界点的必要条件若点(xo, f(x)是曲线的拐点,且f"(x)存在,f"(x) = 0.则必然有1tyf"(x)0f"(x) >0凹(xo, f(x))凹0x0x凹与凸→f"(x) = 0.凹与凸分界点→f"(x) = 0.分界点

拐点存在 的必要条件 ( ) 0. f  x0 = 由于拐点是曲线 y = f (x) 上,凹与凸的分界点, 则必然有 若点 ( , ( )) 是曲线的拐点,且 存在, 0 0 x f x ( ) 0 f  x ( , ( )) 0 0 x f x 凹 凸 f (x)  0 f (x)  0 y o x y = f (x) 凹与凸 分界点 ( ) 0. f  x0 = 凹 凸 f (x)  0 f (x)  0 y o x y = f (x) 凹与凸 分界点 ( ) 0. f  x0 = ( , ( )) 0 0 x f x