《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第六章 矩阵与线性方程组 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩

教学建议学习目标第六章矩阵与线性方程组86.1矩阵的概念$6.2矩阵运算86.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩86.4线性方程组的消元解法

§6.1 矩阵的概念 § 6.2 矩阵运算 §6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 教学建议 学习目标 第六章 矩阵与线性方程组 §6.4 线性方程组的消元解法

$6.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩一．矩阵的初等行变换二.矩阵的秩三.逆矩阵

一. 矩阵的初等行变换 二. 矩阵的秩 §6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 三. 逆矩阵

一，矩阵的初等行变换对矩阵的行施行以下三种变换,称为矩阵矩阵的初等行变换的初等行变换：(1)互换矩阵两行的位置aji aj2"..ajn(交换第i,j两行,记作r r,)ai ai2 .:in(2)以不等于0 的数k乘矩阵某一行的所有元Cdi2inXk（k乘第i行,记作kr）kai2 ..ka(3)把矩阵某一行所有元的k倍加到另一行的对应元上(第i行的k倍加到第j行上,记作r，+kr）ailai2aXkin加上来ka;i2 +aj2".. kainka;2+ail+a+11in

一 . 矩阵的初等行变换 (3)把矩阵某一行所有元的 k 倍加到另一行的对应元上 矩阵的初等行变换 的初等行变换: (1)互换矩阵两行的位置 (交换第 i , j 两行,记作 i j r  r ) (2)以不等于0 的数 k 乘矩阵某一行 ( k 乘第 i 行,记作 k i r ) (第 i 行的 k 倍加到第 j 行上,记作 j i r + k r ) ai1 ai2 ain a aj i 1 1 a ai j 22 aainj n aj1 aj2 aj n 对矩阵的行施行以下三种变换,称为矩阵 ai1 ai2  ai n kai1 kai2 kai n ×k 的所有元 ×k ai1 ai2  ai n 加上来 i j i j i n a j n k a1 + a 1 k a 2 + a 2  k a +

练习13-1 -4对矩阵进行下列初等行变换：设矩阵-221(1)交换矩阵A的第1行与第3行的位置；A=(2)用数3乘矩阵A的第2行；57/(3)将矩阵A第3行的(一4)倍加到第4行上-2 -3)4(1753-1 -4)解(1)2-221(-2 21)r11r3A=3-1 -4517(未完待续）4 -2 -3)(4 -2 -3)

练习1 设矩阵 解(1) A , 4 2 3 1 5 7 2 2 1 3 1 4               − − − − − = 对矩阵进行下列初等行变换: A               − − − − − = 4 2 3 1 5 7 2 2 1 3 1 4 ⎯⎯⎯→ 1  3 r r . 4 2 3 3 1 4 2 2 1 1 5 7               − − − − − (未完待续) (3)将矩阵A第3行的(－4)倍加到第4行上. (1)交换矩阵A的第1行与第3行的位置; (2)用数3乘矩阵A的第2行;

练习1(2)用数3乘矩阵A的第2行；3-4)-1第二行每个3 -1 -4)解(2)设矩阵数都乘以3-221A=-2 213r2751A=1 7￥５(4 -2 -3)(4 -2 -3)-4)-1 -4)33-1-6 633x(-2) 3×2 3x1157157(未完待续)4-2(4 -2 -3)2-3）

练习1 设矩阵 解(2) A , 4 2 3 1 5 7 2 2 1 3 1 4               − − − − − = (2)用数3乘矩阵A的第2行; A               − − − − − = 4 2 3 1 5 7 2 2 1 3 1 4 ⎯⎯3r2 → . 4 2 3 1 5 7 6 6 3 3 1 4 4 2 3 1 5 7 3 ( 2) 3 2 3 1 3 1 4               − − − − − =               − −  −   − − 第二行每个 数都乘以3 (未完待续)

练习1(3)将矩阵A第3行的(一4)倍加到第4行上3-1 -43-1"=4第三行每个数解(3)设矩阵-221都乘以(-4),再221-2A=加到第四行上571r4 +(-4)r3A157(4 -2 -3)(4 -2 -3)(3-1 -4)3-4 -1-22212-2 1157571(-4x1+4 -4×5+(-2) -4x7+(-3))）（0-22-31)(完)

练习1 设矩阵 解(3) A , 4 2 3 1 5 7 2 2 1 3 1 4               − − − − − = A               − − − − − = 4 2 3 1 5 7 2 2 1 3 1 4 第三行每个数 都乘以(-4),再 加到第四行上 (3)将矩阵A第3行的(－4)倍加到第4行上. ⎯⎯ ⎯→ 4 + − 3 r ( 4)r               −  + −  + − −  + − − − − 4 1 4 4 5 ( 2) 4 7 ( 3) 1 5 7 2 2 1 3 1 4               − − − − − = 0 22 31 1 5 7 2 2 1 3 1 4 (完)

用矩阵的初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵练习22-2-3分析A=用矩阵的初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵的程序是/(1)将矩阵化为阶梯形矩阵(2)将阶梯形矩阵化为简化阶形矩阵首先使第一行第一个元为1从非零行最后一行起，将该非然后将其下方元全化为0；行第一个非零元化为1并将1再将第二行从左至右第一个非零元下方元全化为0：直至上方元全化为0：再将倒数第把矩阵化为阶梯形矩阵；个非零行第一个非零元化为并将其上方元全化为0：直至矩阵化为简化阶梯形矩阵

练习2 A 用矩阵的初等行变换将矩阵A 化为简化阶梯形矩阵.           − − − − = 1 2 1 1 1 0 2 2 3 分析 用矩阵的初等行变换将矩阵A 化为简化阶梯形矩阵的程序是: (1)将矩阵化为阶梯形矩阵 首先使第一行第一个元为1, 然后将其下方元全化为0; 再将第二行从左至右第一个 非零元下方元全化为0;直至 把矩阵化为阶梯形矩阵; (2)将阶梯形矩阵化为简化阶梯 形矩阵 从非零行最后一行起,将该非零 行第一个非零元化为1,并将其 上方元全化为0;再将倒数第二 个非零行第一个非零元化为1, 并将其上方元全化为0;直至把 矩阵化为简化阶梯形矩阵

练习2用矩阵的初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵解(1)将矩阵A化为阶梯形矩阵B-3)-2110r2 +(-2)riir2-2 -3r3+ri--1 -2100(-1)rrr03410阶梯形矩阵r +(-4)r0-1不唯一！B4 -30-4(未完待续）-

练习2 A           − − − − = 1 2 1 1 1 0 2 2 3 解 (1)将矩阵A化为阶梯形矩阵B 用矩阵的初等行变换将矩阵A 化为简化阶梯形矩阵.           − − − − 1 2 1 2 2 3 1 1 0           − − − 0 1 1 0 4 3 1 1 0 ⎯⎯⎯→ 1  2 r r ⎯⎯ ⎯→ + + − 3 1 2 1 ( 2) r r r r           − − − 0 4 3 0 1 1 1 1 0 ⎯⎯⎯→ − 3 ( 1)r =           − − 0 0 7 0 1 1 1 1 0 ⎯⎯ ⎯→ + − 3 2 r ( 4)r B 阶梯形矩阵. 不唯一! (未完待续)           − − − 0 1 1 0 4 3 1 1 0 ⎯⎯⎯→ 2  3 r r

练习2用矩阵的初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵续解(2)将阶梯形矩阵B简化阶梯形化为矩阵1r2+rB=0001说明00ri +(-1)xr2据实际做题0时,两个步骤不用分开写.010(完)简化阶梯形矩阵.唯一！

练习2 (2)将阶梯形矩阵B简化阶梯形化为矩阵 用矩阵的初等行变换将矩阵A 化为简化阶梯形矩阵. 简化阶梯形 矩阵.唯一!           − = − 0 0 7 0 1 1 1 1 0 B ⎯ ⎯→ − 3 7 1 r           0 0 1 0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 0 1 0 1 0 0                     − 0 0 1 0 1 1 1 1 0 ⎯r2 ⎯+r3 → ⎯⎯⎯⎯→ 1 + −  2 r ( 1) r 说明 据实际做题 时,两个步骤不 用分开写. 续解 (完)

练习3用矩阵的初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵1-2 3 -4 1解为了计算简单,有时可先将矩阵A化为各非零行第一个非零元均0-1 1 -112为1的阶梯形矩阵r3 +(-1)ri30-3 017(0 -7-1)31(未完待续)(1 -2 3 -4 1)41(1 -2 3 -4r3 +(-5)r20-1 1 -11-11 -1 r4 +7r2002 -4 405-31 -100-4 8 -8(0 -7 3 1 -1)

练习3 A 解 为了计算简单,有时可先将矩阵 A化为各非零行第一个非零元均 为1的阶梯形矩阵. 用矩阵的初等行变换将矩阵A 化为简化阶梯形矩阵.               − − − − − − − = 0 7 3 1 1 1 3 0 3 0 0 1 1 1 1 1 2 3 4 1               − − − − − − − − 0 7 3 1 1 0 5 3 1 1 0 1 1 1 1 1 2 3 4 1 ⎯⎯ ⎯→ 3 + − 1 r ( 1)r ⎯⎯ ⎯→ + + − 4 2 3 2 7 ( 5) r r r r               − − − − − − − 0 0 4 8 8 0 0 2 4 4 0 1 1 1 1 1 2 3 4 1 (未完待续)