《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 多元函数微分学 5.3 条件极值

教学建议学习目标第五章多元函数微分学偏导数$ 5.185.2二元函数的极值s5.3条件极值

§ 5.1 偏导数 § 5.2 二元函数的极值 § 5.3 条件极值 教学建议 学习目标 第五章 多元函数微分学

$5.3条件极值一.条件极值的意义二.条件极值的求法

一. 条件极值的意义 二. 条件极值的求法 §5.3 条件极值

条件极值的意义一.(1)我们已经讲过函数案例,z= f(x,y)=/1-x2-y, (x,y)eD的极大值问题,其中D=(x,)x2+y≤1)它是在圆域Zx2+V2≤1内求函数的极大值点.我们已知道，点(0,0)是其极大值点f(0,0)=1是极大值.y(2)现在的问题是,在条件该圆域在平面坐标系中g(x,y)=x+y-1=0 下,求函数z=f(x,y)=/1-x2-y2, (x,y)eD,的极大值，Ix

一 . 条件极值的意义 案例 (1)我们已经讲过函数 ( , ) 1 , 2 2 z= f x y = −x −y 1 是极大值. 点 (0,0) 是其极大值点, f (0,0)= (x, y)D, 的极大值问题,其中 ( , ) 1, 2 2 D= x y x + y  它是在圆域 1 2 2 x + y  内求函数的极大值点.我们已知道, (2)现在的问题是,在条件 g(x, y)= x+ y−1=0 下,求函数 ( , ) 1 , 2 2 z= f x y = −x −y (x, y)D, 的极大值. o 1 x y 该圆域在平 面坐标系中 O y z 1 x

与案例中(1)的问题比较,(2)多了一个附加条件案例x+y-1=0, 即 g(x,y)=0是条直线(2)我们要求的极值点不仅在圆域x2+>≤1内,且应在分析<直线x+y-1=0上x+y-1=(Ny该案例中的(2)该案例中的(1)因在求极值时相应地在求极值时有附加条件无附加条件称为条件极值称为无条件极值

(2)多了一个附加条件 x+ y−1=0, o 1 x y (2) 分析 案例 与案例中(1)的问题比较, 即 g(x, y)=0. 1 2 2 我们要求的极值点不仅在圆域 x + y  是条直线 内,且应在 直线 x+ y−1=0 上. x+ y−1=0 因在求极值时, 有附加条件 称为条件极值 该案例中的(2) 在求极值时, 无附加条件 称为无条件极值 该案例中的(1) 相应地

二.条件极值的求法条件极值在约束条件g(x,y)=0 (也称约束方程)之下,求函数的求法z=f(x,y)(通常称为目标函数)的极值问题,恭化为无条件极值问题.从约束方程中解出 :V=β(x)把它代入目标函数中,得到 z=f(x,(x))有两种这个一元函数的极值就是函数z=f(x,y)在条件方法：g(x,y)=0 之下的条件极值.该方法当从方程g(x,y)=0 中解出V较困难时,就很不方便特别是对多于两个自变量的多元函数,很难行得通，欲求目标函数z=f(x,y)在约束条件拉格朗日乘数法g(x,J)=0 之下的极值点,可按下列程序:

条件极值 的求法 g(x, y)=0 z = f (x, y) 在约束条件 (也称约束方程)之下,求函数 (通常称为目标函数)的极值问题, y=(x), 把它代入目标函数中,得到 z = f (x,(x)). 这个一元函数的极值就是函数 在条件 是化为无条件极值问题.从约束方程中解出 y: z = f (x, y) g(x, y)=0 之下的条件极值. 其二 该方法当从方程 中解出 y 特别是对多于两个自变量的多元函数,很难行得通． g(x, y)=0 较困难时,就很不方便. 拉格朗日乘数法.欲求目标函数 z = f (x, y) g(x, y)=0 之下的极值点,可按下列程序: 在约束条件 有两种 方法: 其一 二. 条件极值的求法

用拉格朗日乘数法求z=f(x,y)在约束条件g(x,y)=0之下的条件极值的程序(2)求可能取极值的点.求函数F(x,J)(1)作辅助函数的偏导数,并解方程组（称拉格朗日函数）F(x,y)= f(x,y)+ Igr(x, y)= 0,F(x,y)=F,(x,y)= f,(x, y)+ ag,(x,y)= 0,f (x, y)+ Λg(x, y其中儿是待定常g(x,y)=0. 设法消去入,解出x,和yo数,称为拉格朗日则点(Xo,J)就是可能取条件极值的点乘数

(1)作辅助函数 (称拉格朗日函数) F(x, y)= f (x, y)+g(x, y) 其中 是待定常 数,称为拉格朗日 乘数.  (2)求可能取极值的点.求函数 F(x, y) 的偏导数,并解方程组      = = + = = + = ( , ) 0. ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) 0, g x y F x y f x y g x y F x y f x y g x y y y y x x x   0 设法消去 , 解出 y 0 x 和 则点 ( , ) 就是可能取条件极值的点. 0 0 x y 用拉格朗日乘数法求 z = f (x, y) 在约束 条件 g(x, y)=0 之下的条件极值的程序

用拉格朗日乘数法求z=f(x,y)在约束条件g(x,y)=0之下的条件极值的程序(3)判定所求得的点(Xo,y是否为极值点通常按实际问题的具体情况来判定，即我们求得了可能取条件极值的点（XoXo）而实际问题又确实存在这种极值点，那么，所求的点（Xoyo）就是条件极值点这种求条件极值问题的方法具有一般性它可推广到元函数的情形

(3)判定所求得的点 (x0 , y0 ) 是否为极值点 用拉格朗日乘数法求 z = f (x, y) 在约束 条件 g(x, y)=0 之下的条件极值的程序 通常按实际问题的具体情况来判定. 即我们求得了可能取 条件极值的点 ,而实际问题又确实存在这种极值点,那 么,所求的点 就是条件极值点. ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y 这种求条件极值问题的方法具有一般性, 它可推广到 n 元函数的情形

解案例(2)在约束条件x+V-1=0下,求函数z=f(x,y)=/1-x2=y2 的极值解法1化为无条件极值问题由方程x十V-1=O得V=1一x,将其带入所给二元函数中,有z=/1-x2-(1-x)2 =V2x-2x2这就化成了求上述一元函数的极值问题,可以求得该函数的定义域是区间[0,1]．由dz=2-4x≥=0.得驻点X=2dx 2V2x-2x2

解案例(2) 在约束条件 x+ y−1=0 下, 求函数 的极值. 2 2 z= f (x,y)= 1−x −y 解法1 化为无条件极值问题. 由方程 x+ y−1=0 得 y=1−x, 将其带入所给二元函数中,有 1 (1 ) 2 2 . 2 2 2 z= −x − −x = x− x 这就化成了求上述一元函数的极值问题,可以求得该函数的定义 域是区间 [0,1]. 由 0, 2 2 2 2 4 d d 2 = − − = x x x x z 得驻点 . 2 1 x=

解案例(2)解法1化为无条件极值问题z= /1-x2-(1-x) =/2x-2x2.dz-2-4x=0,得驻点X=2dx 2V2x-2x2dz0;当xE(,1)时,dxdx21可知x=是函数的极大值点.极大值为22z = ~2x-2x2?2X=当x时22(2-2)这样,对所给的二元函数,极大值点是(

解案例(2)解法1 化为无条件极值问题. 1 (1 ) 2 2 . 2 2 2 z= −x − −x = x− x 0, 2 2 2 2 4 d d 2 = − − = x x x x z 得驻点 . 2 1 x= 0; d d  x z 0, d d  x z 是函数的极大值点.极大值为 ) 2 1 当 x(0, 时, ,1) 2 1 当 x( 时, 可知 2 1 x= . 2 2 2 2 2 1 2 = − = x= z x x 这样,对所给的二元函数,极大值点是 ). 2 1 , 2 1( 当 时, 2 1 x= . 2 1 y=

）在约束条件x+V-1=0下,求函数解案例(2)z=f(x,y)= /1-x2-y2 的极值.解法2用拉格朗日乘数法.作辅助函数F(x,j)=/1-x2-y2 +a(x+y-1)解方程组可得x=)-x2F(x,y)=-+几=0根据问题的实际意-x2-J义该函数应有极大值-y+=0,应是F,(x,y)=J-x-y2故所求的点(极大值点，极大值x+y-1=0.(-)=/--2222

解案例(2) 在约束条件 x+ y−1=0 下, 求函数 的极值. 2 2 z= f (x,y)= 1−x −y 解法2 用拉格朗日乘数法. 可得 ( , ) 1 ( 1), 2 2 F x y = −x −y + x+ y− 作辅助函数 解方程组        + − = + = − − − = + = − − − = 1 0. 0, 1 ( , ) 0, 1 ( , ) 2 2 2 2 x y x y y F x y x y x F x y y x   . 2 1 x= y= 根据问题的实际意 义该函数应有极大值, 极大值点,极大值 故所求的点 ) 2 1 , 2 1( 应是 . 2 2 ) 1 2 1 , 2 1( ) 2 1, 2 1( 2 2 f = −x − y =