《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 概率的基本知识及其应用 7.5 连续型随机变量

教学建议学习目标第七章概率的基本知识及其应用87.1随机事件87.2事件的概率及概率的加法公式87.3概率的乘法公式与事件的独立性87.4随机变量与离散型随机变量87.5连续型随机变量S 7.6β随机变量的数字特征

§ 7.1 随机事件 § 7.2 事件的概率及概率的加法公式 § 7.3 概率的乘法公式与事件的独立性 教学建议 学习目标 第七章 概率的基本知识及其应用 § 7.4 随机变量与离散型随机变量 § 7.5 连续型随机变量 § 7.6 随机变量的数字特征

$ 7.5连续型随机变量一.连续型随机变量的概率密度二.常见的连续型分布

一.连续型随机变量的概率密度 §7.5 连续型随机变量 二.常见的连续型分布

87.4案例2用X表示完成该道工序所需要的时间(单位:min)X是一个连续型随机变量，案例2分析我们可以考察X在区间7，十）（即完成该道工序的时间至少7min)的概率P(X ≥ 7);还可以考察X在区间(0，15|(即完成该道工序的时间不超过15min)的概率P(0<X≤15)由于连续型随机变量的取值充满了某个区间,所以,我们只讨论随机变量落在某一区间的概率

用 X 表示完成该道工序所需要的时间(单位:min), X 是一个连续型随机变量. §7.4案例2 我们可以考察 X 在区间 [7, + ) (即完成该道工序的时间 至少7min)的概率 P(X  7), 还可以考察 X 在区间 (0, 15] (即完成该道工序的时间 不超过15min)的概率 P(0  X 15). 由于连续型随机变量的取值充满了某个区间,所以,我们只 讨论随机变量落在某一区间的概率. 案例2 分析

连续型随机变量的概率密度一.密度函数定义7.5对于随机变量X，若存在一个非负可积函数f(x)对任意实数a,b(α < b),有P(a<X≤b)=f(x)dx.则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的密度函数.密度函数性质+f(x)dx = 1(1)f (x) ≥ 0;(2)

(1) f (x)  0; 密度函数 密度函数 性质 一 . 连续型随机变量的概率密度 定义7.5 对于随机变量 , 若存在一个非负可积函数 对任意实数 a , ( ), b 有 X f (x), a  b ( )d = 1.  +  − (2) f x x P(a X b) f (x)dx. b a   = 则称 为连续型随机变量, 称 为 的密度函 数. X f (x) X

f(x)为X的密度函数:若X为连续型随机变量对任意实数 α,有P(X = α)=O,从而P(a<X <b)= P(a<X ≤b)= P(a≤X<b)= P(a≤X≤b)1f(x)dx.由此可见,计算连续型随机变量X在某一区间的概率时，可以不必区分开区间、闭区间、半开半闭区间

对任意实数 a , 有 P(X = a) = 0 , 从而 可以不必区分开区间、闭区间、半开半闭区间. 由此可见,计算连续型随机变量 X 在某一区间的概率时, P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b) f (x)dx. b a = = P(a  X  b) 若 X 为连续型随机变量, f (x) 为 X 的密度函数:

常见的连续型分布这里只介绍均匀分布和正态分布定义7.6若随机变量X的概率密度函数为1.均匀分布[b-a,a≤x≤b,f(x) =.0其它.则称X服从[α,b]上的均匀分布,记作X～U(a, b).f(x)a-b0bxa

二. 常见的连续型分布 1. 均匀分布 这里只介绍均匀分布和正态分布. 定义7.6 f(x) = 若随机变量 X 的概率密度函数为 , 1 b − a a  x  b, 0, 其它. 则称 X 服从 [a, b] 上的均匀分布,记作 X ～ U(a, b). o a b x f (x) a −b 1

a≤x≤b10)=(6"1.均匀分布4-其它.若X服从[α，b]上的均匀分布,则对任意满足a≤c<d<b的c,d, 有P(c≤ X ≤d)= f(x)dx_ldx=d-cb-ab-ao这表明,X取值于α,b中任一小区间的概率与该小区间的长度成正比,而与该小区间的具体位置无关,这就是均匀分布的概率意义

f(x) = , 1 b − a a  x  b, 0, 其它. 若 X 服从 [a, b] 上的均匀分布, a  c  d  b 的 c, d, 有 则对任意满足    = d c P(c X d) f(x)dx d . 1  − − = − = d c b a d c x b a 1. 均匀分布 这表明, X 取值于 [a, b] 中任一小区间的概率与该小区间的长度成 正比,而与该小区间的具体位置无关,这就是均匀分布的概率意义

J(n)=[6-a asxsb,1.均匀分布0其它.实际中,乘客在公共汽车站候车的时间X服从均匀分布在区间[α,b]上掷质点,用X表示质点的坐标,一般也可以把X看作是在a,b上服从均匀分布的随机变量

f(x) = , 1 b − a a  x  b, 0, 其它. 1. 均匀分布 在区间 [a, b] 上掷质点, 实际中, X 服从均匀分布; X 看作是在 [a, b] 上服从均匀分布的随机变量. 用 X 表示质点的坐标,一般也可以把 乘客在公共汽车站候车的时间

练习1一位乘客到某公共汽车站等候汽车，假设该汽车站每隔6min有一辆汽车通过，乘客在0到6min内乘上汽车的可能性是相同的,求该乘客等候时间不超过3min和超过4min的概率解该乘客候车时间是一个随机变量该随机变量X的概率分布是均匀分布at其它.则他等候时间不超过3min的概率为 1 dx = 0.5.P(0≤x≤3) =梦超过4min的概率为P(x>4)=Iidx=3

f(x) = , 6 1 0  x  6, 0, 其它. 6min有一辆汽车通过, X 的概率分布是 练习1 一位乘客到某公共汽车站等候汽车,假设该汽车站每隔 乘客在0到6min内乘上汽车的可能性 是相同的, 求该乘客等候时间不超过3min和超过4min的概率. 解 该乘客候车时间是一个随机变量.该随机变量 均匀分布 则他等候时间不超过3min的概率为 d 0.5. 6 1 (0 3) 3 0 P  x  = x = 超过4min的概率为 . 3 1 d 6 1 ( 4) 6 4  = =  P x x

2.正态分布若随机变量X的概率密度为(x-μ)22g2f(x) =18ΛX82元0其中 u和都是常数，u任意，>0，则称X服从参数为u和的正态分布记作X~ N(u,2)(Normal)y= f(x)所确定的曲线叫作正态曲线

若随机变量 X 的概率密度为 2. 正态分布 ~ ( , ) 2 记作 X N   (Normal) y = f (x) 所确定的曲线叫作正态曲线. e , 2π 1 ( ) 2 2 2 ( )    − − = x f x −   x  . 其中 和 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.      