《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.6定积分的换元积分法和分部积分法

科学界最大一笔奖金有一个人叫做沃尔夫凯尔，大学读过数学痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次拒绝，感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。沃尔夫凯尔在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信，由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书

有一个人叫做沃尔夫凯尔，大学读过数学， 痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是 他被无数次拒绝，感到无所依靠，于是定下了 自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告 别这个世界，再也不理会尘世间的事。沃尔夫 凯尔在剩下的日子里依然努力的工作，当然不 是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他 写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。 由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他 就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就 跑到了图书馆，随便翻起了数学书。 科学界最大一笔奖金

很快，被库曼解释柯西等前人做费尔马大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。沃尔夫凯尔竟然发现了库曼的一个错误一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云..这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，奖给第一个证明费尔马定理的人10万马克.这就是沃尔夫凯尔奖的来历

很快，被库曼解释柯西等前人做费尔马大定理 为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟 大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅 读。沃尔夫凯尔竟然发现了库曼的一个错误， 一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自 己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云.这样他 重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个 奖，奖给第一个证明费尔马定理的人10万马 克.,这就是沃尔夫凯尔奖的来历

第六节定积分的换元积分法和分部积分法

第六节 定积分的换元积分法 和分部积分法

定积分的换元法定理6.1设 f(x)在[a,bl连续，函数 x=β(t)满足条件：(1) β(α) = a, (β) = b;(2) (t) 在[α,β (或[β,αl) 上具有连续导数 β'(t),并且 g(t)的值域为[a,bl,则有' f(x)dx = f(o(t)g'(t)dt.定积分的换元积分公式

定积分的换元法 ( ) [ , ] , ( ) (1) ( ) , ( ) ; (2) ( ) [ , ] ( [ 6.1 , ]) ( ), ( ) [ , ], ( ) ( ( )) ( ) . b a f x a b x t a b t t t a b f x dx f t t dt                 = = =  =    设 在 连续 函数 满足 条件： 在 或 上具有连续导数 并且 的值域为 则 理 有 定 定积分的换元积分公式

例1 求 cos' xsin xdx.[ cos xsin xdx =cosX解tdt6

2 5 0 1 cos si . x xdx n  例 求  0 2 5 5 0 1 0 6 1 cos cos sin 1 6 1 . 6 t x x xdx t dt t  = − = − = − 解  

例2 求[ xe'" dx.T'xeatee'dt解-%e--1)

1 2 0 2 . x xe dx 例 求  2 2 1 1 0 0 1 0 1 2 1 2 1 ( 1). 2 x t t t x xe dx e dt e e = = = − 解  

家dx.Vx品.解+Vxadi=2] (t-1+dt=[* - 2t + 2In(1++)],= 4 + 2ln 2

9 1 3 . 1 x dx + x 例 求  2 2 9 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2ln(1 ) 4 2ln 2. x t x t dx dt x t t dt t t t t = + +   = − +     + = − + +     = +    解

例4 求["Va2 -x"dx."Va-x'dx=asinta'ecos tdt解福--fia+0o20(2t + sin 2t)l3Z元a4

2 2 0 4 . a a x dx − 例 求  2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 sin cos (1 cos 2 ) 2 (2 sin 2 ) 4 . 4 a x a t a x dx a tdt a t dt a t t a     = − = + = + =    解

例5 若 f(x)在[-a,al上连续. 证明 : f(x)dx = 2], f(x)dx;(1)当 f(x)为偶函数时I, f(x)dx = 0.(2)当 f(x)为奇函数时证(1)当f(x)为偶函数时,(x)二-T'(-)a-"r(-)d= J" f(0)dt = J' f(x)dx," (x)dx=J", F(x)dx+ J, f(x)dx=2, f(x)dx;

0 ( ) [ , ] . (1) ( ) , ( ) 2 ( ) ; (2) ( ) , ( 5 ) 0. a a a a a f x a a f x f x dx f x dx f x f x dx − − − = =    若 在 上连续 证明： 当 为偶函数时 当 为奇 例 函数时 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; a a a a a f x dx f x dx f x dx f x dx − − = + =     证 (1) ( ) , 当 f x 为偶函数时 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a x t f x dx f t dt f t dt − = − − − = −    0 0 ( ) ( ) , a a = = f t dt f x dx  

例5 若 f(x)在[-a,al上连续. 证明 : f(x)dx = 2], f(x)dx;(1)当 f(x)为偶函数时福I, f (x)dx = 0.(2)当 f(x)为奇函数时证(2)当f(x)为奇函数时,,()-(-1)dt=(-)a=-J, f(0)dt =-J, F(x)dx,", (x)dx =", f(x)dx + J, f(x)dx= 0

0 0 ( ) ( ) ( ) 0. a a a a f x dx f x dx f x dx − − = + =    证 (2) ( ) , 当 f x 为奇函数时 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a x t f x dx f t dt f t dt − = − − − = −    0 0 ( ) ( ) , a a = − = − f t dt f x dx  0 ( ) [ , ] . (1) ( ) , ( ) 2 ( ) ; (2) ( ) , ( 5 ) 0. a a a a a f x a a f x f x dx f x dx f x f x dx − − − = =    若 在 上连续 证明： 当 为偶函数时 当 为奇 例 函数时