《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 积分及其应用 4.7 积分学的应用

教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3禾积分的基本公式$ 4.4换元积分法$ 4.55分部积分法S4.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用

§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标

8.4.7积分学的应用一.平面图形的面积二.已知边际函数求总函数三.消费者剩余和生产者剩余

一.平面图形的面积 §4.7 积分学的应用 二.已知边际函数求总函数 三.消费者剩余和生产者剩余

平面图形的面积一.1由连续曲线y=f(x)(f(x) ≥ O)由定积分的几何意直线x=a, x=b(a<b)和X轴义知所围成的曲边梯形的面积A 为·b·bA=ydx.f (x)dx =0ay= f(x)B'A面积A=?bxoa

( )d d .   = = b a b a A f x x y x 由定积分 的几何意 义知 y o a b x 由连续曲线 y = f (x)(f (x)  0), 直线 x = a, x = b (a  b) 所围成的曲边梯形的面积 A 为 A B 和 x 轴 y = f (x) 面积 A = ? 一 . 平面图形的面积

在区间[a,b]上,y= f(x)若f(x)有正有负,则图中阴影部QX分的面积为6A= 1f(x)ldxLha f(x)dx.f(x)dx -f(x)dx|+O

 = b a A f (x) dx 则图中阴影部 分的面积为  = c a f (x)dx a b o x y = f (x) y c d 若 f (x) 有正有负, 在区间 [a,b] 上,  − d c f (x)dx ( )d .  + b d f x x

由两条连续曲线y= f(x)，=g(x),两条直线x=ax=b (a<b)所围成的平面图形的面积A按如下方法求得：(1)在区间[α,b]上,若有g(x)≤ f(x),则面积的计算公式为A = (_[f (x) - g(x)]dx.Vy= f(x)面积A=？bxQay= g(x)

由两条连续曲线 y = f (x), 两条直线 x = a, x = b (a  b) 所围成的平面图形的面积 A 按如下方法求得: y = g(x), (1)在区间 [a,b] 上,若有 g(x)  f (x), 则面积的计算公式为 y a y = f (x) y = g(x) [ ( ) ( )]d .  = − b a A f x g x x 面积 A = ? o b x

由两条连续曲线y= f(x)，y=g(x),，两条直线x=aαx=b (a<b)所围成的平面图形的面积A按如下方法求得：g(x)≤ f (x)(2)在区间[a,b]上,若不具有条件则面积的计算公式为A== (/f(x) - g(x)ldx

由两条连续曲线 y = f (x), 两条直线 x = a, x = b (a  b) 所围成的平面图形的面积 A 按如下方法求得: y = g(x),g(x)  f (x), 则面积的计算公式为 ( ) ( )d .  = − b a A f x g x x (2)在区间 [a,b] 上,若不具有条件

直线y=c,=d由连续曲线x=(y)(β(y)≥ O)，I(c<d)和 轴所围成的曲边梯形的面积A为tyOf (y)dy.-Bd=()面积A=？ACx0

( )d .  = d c A f y y o x 由连续曲线 x =(y) ((y)  0), 直线 y = c, y = d (c  d) 和 y 轴 所围成的曲边梯形的面积 A 为 A B y c d x = (y) 面积 A = ?

由两条连续曲线x=((y)，x = (y),两条直线=Cy=d (c<d)所围成的平面图形的面积A为aA =p(y)-yy)dy.yd参阅该图面积r=p(y)w(yX=A=?Cxo

由两条连续曲线 x = (y), 两条直线 y = c, y = d (c  d) 所围成的平面图形的面积 A 为 x = (y), ( ) ( )d .  = − d c A  y  y y o x y x = (y) x =  (y) c d A = ? 面积 参阅该图

用定积分求平面图形面积的程序选择积分变量并用相应的根据确定积分限：公式已知条件直接判定或解方程组画出草图计算面积确定曲线的交点

根据 已知条件 画出草图 选择积分变量 并 确定积分限: 直接判定或 解方程组 确定曲线的交点 用相应的 公式 计算面积. 用定积分求平面图形面积的程序

练习1求由曲线V=x2与直线V=x+2所围图形的面积解(2)选X为 为确定积分限,应求曲线积分变量(1)画y=x-与直线y=x+2草图B的交点A与B的横坐标.解方程组=x+2y=x?,得 =-1,x=2.y=x+2.y=x?显然积分下限为X=—1,积分上限为X=2.2 x0[(x+2)-x2]dx -1(3）用定积A=分求面积七9t12+2xJ一232

o x 练习1 求由曲线 2 y = x 与直线 y = x + 2 所围图形的面积. 2 y = x y y = x + 2 −1 2 解 的交点 A 与 B 的横坐标. A B 解方程组 , 2 y=x y= x+2. 得 1, x1 =− 2. x2 = 显然积分下限为 1, x1 =− 积分上限为 2. x2 = − = + − 2 1 2 A [(x 2) x ]dx . 2 9 ) 3 2 2 ( 2 1 2 3 = + − − = x x x (1)画 草图 (2) 选 为 积分变量 x 为确定积分限,应求曲线 与直线 y = x + 2 2 y = x (3)用定积 分求面积