后勤工程学院：《数学建模与数学实验》课程教学资源（PPT课件讲稿）第13讲 插值

数学建模与数学实验 插 值 后勤工程学院数学教研空

1 数学建模与数学实验 后勤工程学院数学教研室 插 值

实验目的 1、了解插值的基本内容 2、掌握用数学软件包求解插值问题。 实验内容 1]一维插值 2]二维插值 3]实验作业

2 实验目的 实验内容 2、掌握用数学软件包求解插值问题。 1、了解插值的基本内容。 [1]一维插值 [2]二维插值 [3]实验作业

维插值 、插值的定义 插值的方法拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 用 Matlab解插值问题 返回

3 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用Matlab解插值问题 返回

二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法最邻近插值 分片绲性插值 线性插值 三、用Mat1ab解插值问题网格节点数据的插值 散点数据的插值 返回

4 返回 二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用Matlab解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值

维括值的定义 已知n+1个节点(x1,y1)(=0,1,…n,其中孓 互不相同,不妨设=x<<…<x=b) 求任一插值点x(≠x1)处的插值y 节点可视为由 y=g(x)产生 表达式复杂,, 或无封闭形式, 或未知。 0 Xx

5 一维插值的定义 已知 n+1个节点 (x , y ) ( j 0,1, n, j j =  其中 j x 互不相同，不妨设 ), 0 1 a x x x b =   n = 求任一插值点 ( ) * j x  x 处的插值 . * y • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y 节点可视为由 y = g(x) 产生,， g 表达式复杂,， 或无封闭形式,， 或未知.。 ◆ * x * y

构造一个(相对简单的函数y=f(x)2通过全部节点即 f(x1)=y;(j=0,1,…n) 再用f(x)计算插值,即y=f(x 0 返回

6 构造一个(相对简单的)函数 y = f (x), 通过全部节点, 即 f (x ) y ( j 0,1, n) j = j =  再用 f (x) 计算插值，即 ( ). * * y = f x • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y ◆ * x * y 返回

拉朗日 grange)插值 已知函数八x)在n+1个点X0x12…x处的函数值为 y012yno求一n次多项式函数Pn(x),使其满足 Pn(x1)=y1=0,12,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 P(x)=∑L(x) i=0 其中L(x)为次多项式: —X (x)= 0从X x1)…(x-X1)x-x 1+1 )…(x-xn) (X1-X0)(X1-X1)…(x1-X1)(x1-X1)…(X-X 称为拉格朗日插值基函数

称为拉格朗日插值基函数。 7 = =  n i 0 n i i P (x) L (x) y 已知函数f(x)在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn处的函数值为 y0 ,y1 ,…,yn 。求一n次多项式函数Pn (x)，使其满足： Pn (xi )=yi ,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li (x) 为n次多项式： (x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x ) L (x) i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n 0 1 i 1 i 1 n i − − − − − − − − − − = − + − +     拉格朗日(Lagrange)插值

拉朗日 grange,值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: X-x X-x 三点二次(_抛物)插值多项式: 2x)= x-x, x-x -xo.r-x2 x-X·(x-x1 b-) x)(x1-x2) y 直接验证可知Ln(x)满足插值条件

8 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: ( ) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 y x x x x y x x x x L x − − + − − = 三点二次(抛物)插值多项式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 2 y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x −  − −  − + −  − −  − + −  − −  − = 直接验证可知,L (x)满足插值条件. n

例g(x)= 5≤x<5 2 1+x 采用拉格朗日多项式插值:选取不同插值 节点个数n+1.其中n为插值多项式的次数,当n 分别取2,4,6,8,10时,绘出插值结果图形 To Matlab Ich(larg1) 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现叫 Runge现象 返叵

9 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 , 5 5 1 1 ( ) 2 −   + = x x g x 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To Matlab lch(larg1)

分段线性插值 0 X +1 X (x)=∑yl(x) =0 计算量与n无关 x,1≤x≤x n越大,误差越小, x-x X.≤x≤x 其它 n->oo n (x)=g(x),x0Sx≤xn

10 分段线性插值              − −   − − = = + + + − − − =  0, 其它 , , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 j j j j j j j j j j j n j n j j x x x x x x x x x x x x x x l x L x y l x 计算量与n无关; n越大，误差越小. n n n L x = g x x  x  x → 0 lim ( ) ( ), • • • • • • o x0 xj-1 xj xj+1 xn x y