湖北大学：《大学物理》第四章（4-1） 刚体的定轴转动

R 主要、刚体的定轴转动(运动) 内容:二、力矩、刚体定轴转动的转动定律、转动惯量 三、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律 四、力矩作功、刚体定轴转动的动能定理

一、刚体的定轴转动（运动） 二、力矩、刚体定轴转动的转动定律、转动惯量 三、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律 四、力矩作功、刚体定轴转动的动能定理 主要 内容：

结构框图 刚体转动刚体运动学角量角速势冷 角加速 刚体动力学 角量与线 量关系 力矩牛顿定律角动量 刚体定轴转动定律角动量角动量角动守 转动 惯量「力矩动能转动 作功定理动能

刚体定轴转动定律 角动量 定理 结构框图 角动量 角动量 变化率 转动 惯量 角动量守 恒定律 力矩 作功 转动 动能 动能 定理 刚体转动 力矩 牛顿定律 角量 角速度、 角加速度 角量与线 量关系 刚体运动学 刚体动力学

§4-1刚体的定轴转动 刚体的基本运动 刚体:在无论多大的外力作用下,其形状和大小 都不发生任何变化的物体。即其内部任意 两点之间距离永远不变,刚体的各部分之 间没有相对运动。 说明:①刚体是一个物体,可视为由许多质点组成;因此 研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体 ②刚体是物理学中的一个理想模型,绝对的刚体是 不存在的。 平动:在运动过程中,其上任意两点的连线在 各个时刻位置始终保持平行的运动。在 刚体的平动:用质点的运动处理

§4-1 刚体的定轴转动 一、刚体的基本运动 在运动过程中，其上任意两点的连线在 各个时刻位置始终保持平行的运动。 平动： 刚体： 在无论多大的外力作用下，其形状和大小 都不发生任何变化的物体。即其内部任意 两点之间距离永远不变，刚体的各部分之 间没有相对运动。 说明：①刚体是一个物体，可视为由许多质点组成；因此 研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体。 ②刚体是物理学中的一个理想模型，绝对的刚体是 不存在的。 刚体的平动：用质点的运动处理

转动:刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。 称为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转轴固定不动的转动。各质元均作圆周运动, 转动:其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上。 各质元的线量一般不同(因为半径不同)但 角量(角位移、角速度、角加速度)都相同 般刚体的运动:质心的平动+绕质心的转动 二、刚体转动的角速度、角加速度 由右手螺旋法则确定:右手弯 曲的四指沿转动方向,伸直的 大拇指即为角速度O的方向 线速度与角速 度之间的关系:⑤=O×7

二、刚体转动的角速度、角加速度 由右手螺旋法则确定：右手弯 曲的四指沿转动方向，伸直的 大拇指即为角速度  的方向。  定轴 转动： 转轴固定不动的转动。各质元均作圆周运动， 其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。 各质元的线量一般不同（因为半径不同）但 角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。 一般刚体的运动：质心的平动＋绕质心的转动 转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。 称为刚体的转动。这条直线称为转轴。   r  v  线速度与角速 度之间的关系： v r    =

角加速度矢量: C dt 刚体运动学中所用 de d20 的角量关系及角量O C dt dt di 和线量的关系如下: 2 V三0.=.= 注意:ω、&是矢量,由于在定轴转动中轴的方 位不变,故用正负表示其方向 在刚体作匀加=0+o1++a 速转动时,相 应公式如下:a=0+at +2a6 作业:P1494-142

注意：、是矢量，由于在定轴转动中轴的方 位不变，故用正负表示其方向。 在刚体作匀加 速转动时，相 应公式如下：            2 2 1 2 0 2 0 2 0 0 = + = + = + + t t t 刚体运动学中所用 的角量关系及角量 和线量的关系如下： 2 2 2         v r a r a r dt d dt d dt d = t = n = ＝ = = 角加速度矢量： dt d    = 作业：P149 4-1 4-2

§4-2力矩转动定律转动惯量 力矩 ①力臂:从转轴z与 截面的交点0到力F 的作用线的垂直距离 d~b对转轴的力 邕力矩: 在垂直与转轴的平 面内,外力F与力线到 转轴的距离d(力臂)的乘M=F×F 积定义为对转轴的力矩。 定轴转动,规定:{力矩逆时针方向M为正。 力矩顺时针方向M为负

z F d o §4-2 力矩 转动定律转动惯量 一、力矩 在垂直与转轴的平 面内，外力 与力线到 转轴的距离d(力臂)的乘 积定义为对转轴的力矩。 F M r F =  力矩逆时针方向 M 为正。  力矩顺时针方向 M 为负。  M  r   ②力矩： 定轴转动，规定： ①力臂：从转轴 与 截面的交点O到力 的作用线的垂直距离 d～力 对转轴的力 臂 F F z

即:M大小为 Arsine;方向:右手法则确定 右手法则:把右手拇指伸直,其余四指弯曲,弯曲的 方向是由径矢F通过小于180的角转向力F的方向, 这时拇指所指的方向就是力矩的方向 单位:Nm牛顿米;量纲:M2T2。 注:如果作用在刚体上的外力不在垂直转轴的平面内, 那么应当理解为外力在平面内的分矢量,这样该分 矢量才对刚体转动产生影响 ③合力矩:按矢量叠加。 若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上,且 这几个外力都在与转轴相垂直的平面内,则它们的合 外力矩等于这几个外力矩的代数和 结论:刚体内各质点间的作用力对转袖的合内力矩 等于零。(参见P116图4-12、4-13)

按矢量叠加。 若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且 这几个外力都在与转轴相垂直的平面内，则它们的合 外力矩等于这几个外力矩的代数和。 ③合力矩： 即： M 大小为 Frsin ；方向：右手法则确定。 单位： N m 牛顿米；量纲： ML T2 2− 。 注：如果作用在刚体上的外力不在垂直转轴的平面内， 那么 应当理解为外力在平面内的分矢量，这样该分 矢量才对刚体转动产生影响。 结论：刚体内各质点间的作用力对转袖的合内力矩 等于零。（参见P116 图4-12、4-13) 右手法则：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的 方向是由径矢 通过小于 的角转向力 的方向， 这时拇指所指的方向就是力矩的方向. 0 r 180 F

刚体定轴转动的转动定律 利用力矩定义十牛顿第二定律,研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设:Oz为定轴,P为 刚体中任一质点i,其 质量为△m。质点 受外力F,内力F 的作用,均在与Oz轴 相垂直的同一平面内 ①牛顿第二定律: fi+ △m.a 建立自然坐标:切向、法向;i

z Oi ri 二、刚体定轴转动的转动定律 mi ～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 Oz 设： 为定轴， 为 刚体中任一质点 ，其 质量为 。质点 受外力 ，内力 的作用，均在与 轴 相垂直的同一平面内。 oz P Fi Fi  mi i i ①牛顿第二定律： i i F F m a i i + =   Fit  Fi  Fi Fit 建立自然坐标：切向、法向；

切向分量式为: E+F=△man=△mnrO 法向分量式为: E+E=△n ②利用M4=F×F,即为:M=rF 注:切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直 切向分量式两边乘以r;,有: F1+Fm1=△m1n2O 外力矩内力矩 ③对所有质元的同样的式子求和:

切向分量式为： 注：切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直。 切向分量式两边乘以ri ,有： 外力矩 内力矩 F F m a m r it it i it i i + =  =    法向分量式为： F F m a in in i in + =   ②利用 M r F =  ，即为： M r F = i it 2 F r F r m r it i it i i i + =    ③对所有质元的同样的式子求和：

∑F+∑,=∑△mx2a 对内力的力矩之和为零,所以有 ∑F=2 △2ni ④定义:M=∑F~合外力矩 J=∑△m2为刚体对于转轴的转动惯量 则有:M=JC 结论:刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比, 叫做定轴转动时刚体的转动定律,简称转动定律, 转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。 M=a与F=ma地位相当 m映质点的平动惯性,反映刚体的转动惯性

一对内力的力矩之和为零，所以有 为刚体对于转轴的转动惯量 ～合外力矩 则有： 结论：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比， 叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。 转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。 mj mi rorj Oi ri Z Fij Fji 2 it i it i i i    F r F r m r + =    2   F r m r it i i i =   2 i i J m r =   ④定义： M F r = it i M J =  m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性 M J =  与 F＝ma 地位相当