中国科学院研究生院：《热传导与热辐射》第二章 直角坐标系中的分离变量法

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第二章 直角坐标系中的分离变量法

第二章 直角坐标系中的分离变量法

§2.1分离变量方法 分离变量法是将分离变量形式的 试探解代入偏微分方程中,将求解偏 微分方程的问题转化为求解常微分方 程组的问题,是求解数学物理方程的 经典而有效的方法之

§2.1 分离变量方法 分离变量法是将分离变量形式的 试探解代入偏微分方程中，将求解偏 微分方程的问题转化为求解常微分方 程组的问题，是求解数学物理方程的 经典而有效的方法之一

直角坐标系下三维、非稳态、 热传导方程分离变量 02T02T021 020y2 aoT 其解为T=T(x,y,x,T)

直角坐标系下三维、非稳态、 热传导方程分离变量

假设分离变量形式的试探解,令 T(, 3, 2,T)=v(, y, r(T) (2-2) 代入(2-1)式,得 ,,2)11d() 0(O2a2-8/a(r)b-,(2-3

假设分离变量形式的试探解，令 代入(2-1)式，得

经整理后,得到 +0=02-4 22+

⚫经整理后，得到

对空间变量v再次进行分离变量,得到 v1(x,9y,2)=X(x)Y(y)z(x), 代入(2-5)式,得到 1X,1lY1L+2=0,②-6) xd y da= z dx4

代入(2-5)式，得到 对空间变量ψ再次进行分离变量，得到：

●若(2-6)式成立,每一项都必须分别等于 某一任意的分离常数,即 1 d'x 1 day 1 d2z X d 而且 2+12+m 入

⚫若(2-6)式成立，每一项都必须分别等于 某一任意的分离常数，即 而且

则分离方程组为 d 2x 2+B2X= day 2+2Y=0 76 2+?2Z=0 (2-7c)

⚫则分离方程组为

T(,完全解是由分离解X(,y,2)和 r)线性叠加构成