中国科学院研究生院：《热传导与热辐射》第四章 球坐标系中的分离变量法

第四章 球坐标系中的分离变量法

第四章 球坐标系中的分离变量法

§4.1控制方程的分离变量

§4.1 控制方程的分离变量

球坐标系下三维、稳态、齐次热 传导方程 10/a710/.07\1a7 + r20r、0 r=sin 000(0/. 00)r2sin2000 0

球坐标系下三维、稳态、齐次热 传导方程

分离变量,令= ●代入(4-1)式,得 Ya/odR r a aY r aY r 2 dr dr/ r2 sin 0 a0 sin 00x)+ 00)y2sin2002

⚫分离变量，令 ⚫代入(4-1)式，得

经整理后,得到 1d/dB110

经整理后，得到

方程(42)左边是r的函数,右边是p,d 的函数,而且两边相等,只有两边都为 同一个常数。 ●考虑 Legendre方程和自然边界条件下的 特征值问题。 几()=-1(/)1=4

⚫方程(4-2)左边是 r 的函数，右边是 的函数，而且两边相等，只有两边都为 同一个常数。 ⚫考虑Legendre方程和自然边界条件下的 特征值问题。 ⚫令常数为 L (L+1) , (4-2)式为

上式可以分解为二个方程 1-1(+ 1R=0 10V×1e41+1y=0 sin 0 a0 sin 0 8 02

上式可以分解为二个方程：

r方向的方程是 欧拉型常微分方程 d r dR r0+21-1(1+1=0.(4

r 方向的方程是 欧拉型常微分方程

考虑如下方程 ag+ bay+cy=0 令 lt a=e t=Inc, di (2) y dy dt 1 dy dt dx a dt

⚫解的方法: ⚫考虑如下方程

dy_d10、_1y1d