中国科学院研究生院：《热传导与热辐射》第五章 Laplace变换方法

五章 Laplace变换方法

第五章 Laplace 变换方法

● Laplace变换方法广泛应用于求 解非稳态热传导间题,将对时间 的偏导数消去。方法是简单的, 但对变换后得到的解进行反变换 则相当复杂

⚫Laplace 变换方法广泛应用于求 解非稳态热传导问题，将对时间 的偏导数消去。方法是简单的， 但对变换后得到的解进行反变换 则相当复杂

§5.1 Laplace变换的定义 性质 )定义 设有一个函数F(t)是时间t的函数 如果该函数在复数S平面的某一区域 e F(tdt 收敛, t=0

§ 5.1 Laplace 变换的定义、 性质 ⚫ （一） 定义 设有一个函数 F(t) 是时间 t 的函数， 如果该函数在复数 S 平面的某一区域 收敛

则称F(t)的像函数为 F(s)=/estF(t)dt (5-1) 称作F(O的像函数CP

则称 F(t) 的像函数为 称作 F(t) 的像函数

原函数则为 + St f(sds 其中s=7+i3,?为实部,i为虚部,复变函数的定 义见图(5-1

oke p 图(5-1)复变函数的定义

图（5－1） 复变函数的定义

能够实现 Laplace变换的函数∫(t)必须满足下列条 件 (1)在时间t>0的任意有限区间内(当t1>0,t1≤ t≤t)函数f(t)连续或分段连续; (2)时间t→0+时,对于常数m0<n<1)tf(t)是 有界的;t→0+表示t从正的一边趋近于零; 例如:当m≤-1时,函数f(t)=t",∫oest"dt 在t=0是发散的 (3)函数f(t)的增大是指数级的,即当t→∞时,对 某些正数,c-f(t)是有界的。 例如,f(t)=c"不是指数级的,就是说,对任意 值,当t→∞时,c?e是无界的, e-e2=e(2-t),当t→∞,其→∞,此种情况下, Laplace变 换是不存在的

二)性质 ●1,变换是线性的, C(GF)+(2G(+)=GF8)+(2G(s ●其中C1,C2为常数

（二） 性质 ⚫1，变换是线性的， ⚫其中 C1, C2 为常数

●2,导数的 Laplace变换: c(F(t)=F( sdt=sF(s)-F(0)

⚫ 2，导数的Laplace 变换：

个数的:数12等于函数的变 换式乘以减法该函数在+=(时m的 利用该结果可以来确定函数F的二、二阶导数 刚L2e变换