湖北大学：《大学物理》第八章（8-4） 电场强度通量高斯定理

§8-4电场强度通量高斯定理 电场线( electric line of force) 1.定义: 描述电场分布情况的曲线;能表示场强的方向和 大小的曲线 规定:①曲线上每一点的切线方向表示该点电场 强度E的方向。 ②曲线的疏密表示该点处场强E的大小。即:垂 直通过单位面积的电场线条数(电场线密度),在 数值上就等于该点处电场强度的大小 E E ds

§8-4 电场强度通量 高斯定理 ①曲线上每一点的切线方向表示该点电场 强度 E 的方向。 1.定义： 一、电场线(electric line of force) ～描述电场分布情况的曲线；能表示场强的方向和 大小的曲线。 规定： ⊥ = dS dN E E  ②曲线的疏密表示该点处场强 的大小。即：垂 直通过单位面积的电场线条数(电场线密度)，在 数值上就等于该点处电场强度的大小 E dS⊥

几种常见的电场线: 参见P17图8-16

几种常见的电场线： 参见P17 图8-16 -  + - + + + + + - - - - - +

2.静电场中电场线的性质: ①电场线密集处电场强,电场线稀疏处电场弱。 ②任何两条电场线均不会相交。(反证法)空间各 点的的方向是唯一的。 ③电场线起始于正电荷终止于负电荷,不会形成闭合 曲线。 电场强度通量 1.定义 通过电场中任一曲面的电场线 条数。称为通过这曲面的电场 强度通量(电通量)Φ

2.静电场中电场线的性质： ①电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。 ②任何两条电场线均不会相交。（反证法）空间各 点的的方向是唯一的。 ③电场线起始于正电荷终止于负电荷，不会形成闭合 曲线。 1.定义 二、电场强度通量 通过电场中任一曲面的电场线 条数。称为通过这曲面的电场 强度通量（电通量）e E  dS ⊥ E  // E 

1、均匀电场中通过平面S的电通量 dN E d④=ES⊥ ds, =ds cos(e n)=dS cos 0 定义:矢量面元dS=dS·n 大小等于面元的面积,方向取其法线方向。 因此电通量:c。=E·dS E ①=ES ①= ESCOS=E.S

1、均匀电场中通过平面S的电通量 E   n  E   dN E dS⊥ = e d EdS   = ⊥ 定义：矢量面元 dS dS n =  大小等于面元的面积，方向取其法线方向。 dS⊥ dS n   E  dS dS E n dS cos( ) cos  ⊥ = = 因此电通量： d e E dS    =   = e ES cos  = =  e ES E S 

2、非均匀电场的电通量 ①= Ecos ed6=E·dS S E 3.对闭合曲面的电通量: 规定:封闭曲面外法向为正 dΦ=E·dS= edS cos0 ④=EdS n E ①穿入的电场线 6>90dΦ0③=90d=0

2、非均匀电场的电通量  n  E     = =  S S e E d E dS   cos  3.对闭合曲面的电通量：   =  S e E dS   E n n n S 规定：封闭曲面外法向为正 ①穿入的电场线 ②穿出的电场线 0     90 , 0 d e cos e d E dS EdS  =  =  0 90 , 0 e     d 0 90 , 0 e ③ =  = d

三、静电场的高斯定理 Gauss theoren 表静电场中任何闭合曲面S的电通量中,等于 述该曲面所包围的电荷的代数和的分之一倍。 数学表达式 fE:S=∑9 0 inside 证明:可用库仑定律和叠加原理证明。 q ①证明包围点电荷q的同心球面S的电通量Φ等于 0 球面上各点的场强方向与其径向相同 E 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 c=E·dS=EaS q ds q 4丌Enr

三、静电场的高斯定理Gauss theorem 表 述 ： e 0  静电场中任何一闭合曲面 S的电通量 ，等于 该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。   =  insidei i S E dS q 0 , 1    数学表达式 证明：可用库仑定律和叠加原理证明。 ①证明包围点电荷 q 的同心球面 S 的电通量 e 等于 0  q 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 dS r q d e E dS EdS 2 4 0 1    =  = =   q r  E 

c=E·dS=EdS= qds 4兀Er 乐如D。=乐 q ds= S ater 14n245=9 4 0 此结果与球面的半径无关。换句话说, 通过各球面的电力线总条数相等。从 q发出的电力线连续的延伸到无穷远 q ②证明包围点电荷q的任一闭合曲面S、的 电通量Φ等于q6 立体角 solid angle的sdS

dS r q d e E dS EdS 2 4 0 1    =  = =   0 2 0 2 4  0 4   q dS r q dS r q d S S S e = e = = =    此结果与球面的半径无关。换句话说， 通过各球面的电力线总条数相等。从 q 发出的电力线连续的延伸到无穷远。 q r  E  ②证明包围点电荷 的任一闭合曲面 的 电通量 等于 q S e 0 q /  立体角solid angle 2 r dS d = q

立体角d2 ds ds=ds cos 0 2 ds ds cose E 中as=4兀可以证明,略。 c|=E·dS=Ee.dSn =ES=9 do 4 d dQ 4 实际上因为电力线不会中断(连续性),所以 通过闭合曲面S和S的电力线数目是相等的

立体角 2 r dS d = dS = dS'cos ' ' 2 2 cos dS er dS d r r    = =' ' e r d E dS Ee dS n  =  =  = = d q EdS 4  0 0 0 4 e e S S q q d d    =  =  =   实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 通过闭合曲面 S ' 和 S 的电力线数目是相等的。 ' dS dSn E  r e d    = 4  S d 可以证明，略

③证明不包围点电荷的任一闭合曲面S的 电通量恒等于零。 E 由于电力线的连续性可知, 穿入与穿出任一闭合曲面 的电通量应该相等。所以 S 当闭合曲面无电荷时,电 通量为零。 ④证明:多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的 电通量的代数和 利用场强叠加原理可证。 ①=∮E6=∮(E+E2+E+)S

由于电力线的连续性可知， 穿入与穿出任一闭合曲面 的电通量应该相等。所以 当闭合曲面无电荷时，电 通量为零。 ③ 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 的 电通量恒等于零。 S E  q ' dS '' dS ④证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的 电通量的代数和。 i q2 q 利用场强叠加原理可证。 q1 1 2 3 ( ) e S S  =  = + + +  E dS E E E dS  

=中E1·dS+4E2dS+ E.·dS 2 ①=4E·dS=Φ+Φ,+…+① e ∑q 0 inside, l 说明 ①高斯定律中的场强E是由全部电荷产生的 ②通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的 电荷,闭合曲面外的电荷对电通量无贡献 ③闭合曲面内=∑q1=0,则乐、E:S=0 意义:电场线始于正电荷,终止于负电荷,不形 成闭合曲线,进入高斯面S的电场线根数与穿出的 电场根数相等

 =   =  +  + +  =  inside i e e en i S e E dS q 0 , 1 2 1     说明： E  ① 高斯定律中的场强 是由全部电荷产生的。 ② 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的 电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。    =  +  +  S S S E dS E dS En dS 2 1 2        意义：电场线始于正电荷，终止于负电荷，不形 成闭合曲线，进入高斯面S的电场线根数与穿出的 电场根数相等。 ③闭合曲面内=∑qi＝0，则 0 S E dS  = 