湖北大学：《大学物理》第十四章（14-3） 简谐振动的能量

§14-3简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能 (Q+10)ni2 A OSN=\N=a 势能 (q+0)200Mx=== 系统总的机械能:3+3= + = (q+o)200-+(q+o)i2o=

§14-3 简谐振动的能量 2 2 2 2 1 1 sin ( ) 2 2    = = + K E mv m A t 2 2 2 1 1 cos ( ) 2 2   = = + P E kx kA t 动能 势能 以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 系统总的机械能： 2 2 2 2 2 1 1 sin ( ) cos ( ) 2 2 K P E E E      m A t kA t = + = + + + P E + K E = E

k/m E=-mo242=-k42~表明简谐振动 2 的机械能守恒 能量平均值 A=1b(心+o)niom A s\A=\b(od+I0)200A_a CUT c==x~对任一谐振系统均成立

～表明简谐振动 的机械能守恒。 1 1 2 2 2 2 2  = = E m A kA  2  = k m 能量平均值 2 0 0 2 2 2 4 1 d) ( sin 2 1 1 kA t t A m T E T =  +    = K 2 0 0 2 2 4 1 d) ( cos 2 1 1 kA t t kA T E T =  +   = P 2 E = P E = K E～对任一谐振系统均成立

谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: E E=-kA x=Acos ot 简谐振动的机械能守恒 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比

谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: x = Acost t x O 2 2 1 E = kA EP Ek O t E 简谐振动的机械能守恒 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比

例1:一质量为m的平底船,其平均水平截面积为S, 吃水深度为h,如不计水的阻力,求此船在竖直方向 的振动周期。 解:船静止时,浮力与重力平衡 y y phsg = mg 船在任一位置时,以水面为坐标原点,竖直向 下的坐标轴为y轴,船的位移用y表示

例1：一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S， 吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向 的振动周期。 解: 船静止时，浮力与重力平衡 hSg = mg O y P P y 船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向 下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示

船的位移为y时船所受合力为: ∫=-(h+y)p8g+mg=-ySg 船在竖直方向作简谐振动,其角频率和周期为: g 2丌 T= 2丌 pg m=pSh ∴T=2丌 g

船的位移为y 时船所受合力为： f = −(h + y)Sg + mg = −ySg 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: m Sg  = gS m T     2 2 = = ∵ m = Sh, g h ∴ T = 2

§15-5同方向的简谐振动的合成 同方向同频率的两个简谐振动的合成 设:一质点同时参与沿同一方向(X轴)的两个独 立的同频率的简谐振动,两个振动位移为: x=A cos(at+p) x,=A, cos(at+2) 合位移:x=x+x2=AcOs(ot+p) A=√4+42+2442co(02-91) Nie A+ia a Gp200 A+)200Ao9f 合振动仍然是简谐振动,其方向和频率与原来相同

§15-5 同方向的简谐振动的合成 一、同方向同频率的两个简谐振动的合成 设：一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为： 1 1 1 x A t = + cos( )   2 2 2 x A t = + cos( )   合位移： 1 2 x x x A t = + = + cos( )   2 2 1 2 1 2 2 1 A A A A A = + + − 2 cos( )   1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin tg cos cos A A A A      + = + 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同

0 A2

旋转矢量图示法 小+=上 矢量沿X轴之投影表征了合运动的规律

 1 A  1  2 x 2 A 1 A A    + = A  矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。 旋转矢量图示法 O X 2 A  2  1 x x

讨论: (1)当相位差r=(N-c0)=Q△ (.…+±0=A) 小+A=上 同相迭加,合振幅最大 (2)当相位差N(+)=(N-c)=0△ (.…+±0=A) A 反相迭加,合振幅最小。 当A1=A2时,A=0。 (3)通常情况下,合振幅介于A+A和一

(1)当相位差 2 1 k ( ) 2      = − = 同相迭加，合振幅最大。 2 A −1 A = A 反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。 (3)通常情况下，合振幅介于 2 A +1 A和 2 A −1 A之间。 讨论： 1 A  2 A  X O 1 A  2 A  X O =   k( 0, 1, 2,........) 2 A +1 A = A (2)当相位差 2 1 k ( ) (2 1)      = − = + =   k( 0, 1, 2,........)

多个同方向同频率简谐振动的合成 设:N个同方向、同频率的简谐振动,其振幅相等, 且依次间位相差恒为q△,M个振动表达式可写成 2A= (Q△+to)20A=x △(I-)+0}eo=x 求:它们的合振动的振幅和初相 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化,从而避开烦 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则,N个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示:

求：它们的合振动的振幅和初相。 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N 个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示： 二、多个同方向同频率简谐振动的合成 设： N 个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等， 且依次间位相差恒为  ，N 个振动表达式可写成 1 1  cos = x A t 2 2   cos( ) = +  x A t ...... cos{ ( 1) } N N   = + −  x A t N